Statistika - chí kvadrát test dobré shody

13. χ 2 -test dobré shody. Uveďte předpoklady a použití.

• Využívá se k testování, zda výběr pochází z určitého rozdělení L (např. diskrétního, alternativního atd.). Parametry rozdělení L známe.

• Princip testu

  • pochází-li výběr z teoretického rozdělení L, pak musí být naměřené četnosti a teoretické četnosti blízké

• H0 : náhodný výběr pochází z rozdělení L

• H1 : nonH0 (náhodný výběr nepochází z rozdělení L)

• Realizace náhodného výběru je uspořádaná v tabulce četností

  • Teoretické četnosti jednotlivých tříd:

• Četnost Ni odpovídá tomu, kolikrát by v n pokusech měla přibližně nastat možnost xi, pokud výběr skutečně pochází z L

• Testová statistika R závisí na rozdílu ni – Ni

$$R = \sum_{i =}^{k}\frac{{(n_{i} - N_{i})}^{2}}{N_{i}}$$

• Testová statistika R má za platnosti H0 asymptoticky χ2-rozdělení o k−1 stupních volnosti

Princip testu, pokud parametry rozdělení L neznáme.

• Předpokládáme, že náhodný výběr pochází z rozdělení L(θ). Θ je neznámý parametr.

• Neznámý parametr musíme odhadnout -> při testování potom ověřujeme rozdělení ale pouze s tímto odhadnutým parametrem

  • Tomu se lze vyhnout, pokud parametr odhadneme modifikovanou metodou minimálního χ2 -> poté je R

Dalším předpokladem použití testu dobré shody je dostatečná četnost jednotlivých tříd. Pokud nejsou předpoklady splněny je potřeba třídy sloučit nebo obstarat více dat -> jinak test nelze použít

Příklad použití testu:

• V obchodě zjišťují, zda počet objednávek v jednotlivých dnech týdne je stejný (podobný) – zda odpovídá normálnímu rozdělení

Testy nezávislosti v kontingenčních tabulkách. Uveďte předpoklady a použití.

• Využití pro kvalitativní veličiny

  • můžeme jim přiřadit (pro snadnou manipulaci) číselné hodnoty, ale nemůžeme zavést žádné uspořádání (říct co je víc či míň)

  • např. barva vlasů

• využívá se kontingenční tabulka četností – řádky udávají četnost veličiny X, sloupce četnost veličiny Y

• kontingenční tabulka (nij) o r řádcích a c sloupcích

$$n = \sum_{i = 1}^{r}{\sum_{j = 1}^{c}n_{\text{ij}}}$$

• H0 : veličiny X a Y jsou nezávislé

• H1 : veličiny X a Y nejsou nezávislé

• Testová statistika R za platnosti H0 má asymptoticky χ2–rozdělení o (r − 1)(c − 1) stupních volnosti

Příklad použití testu:

Zkoumáme, zda je preferovaný typ jídla (maso/vegetariánské) nezávislý na pohlaví (muž/žena). Chceme zjistit, zda existuje statisticky významný vztah mezi preferencí jídla a pohlavím.