Statistika - intervalový odhad, Bayesovská statistika

Intervalový odhad parametru rozdělení

• Bodový odhad nám neřekne, jak moc přesný náš odhad je - intervalový odhad ano – řekne nám s jakou spolehlivostí/pravděpodobností náš odhad leží v daném intervalu

• Oboustranný (1 − α)100% interval spolehlivosti pro parametr θ je interval

• = pravděpodobnost, že skutečná hodnota parametru leží mezi dolní a horní hranicí intervalu je (1 – α)

• Jednostranný (1 − α)100% dolní interval spolehlivosti pro parametr θ je (zdola omezený interval) interval

• Pravděpodobnost, že skutečná hodnota parametru je větší než dolní hranice intervalu je (1 − α)

• Jednostranný (1 − α)100% horní interval spolehlivosti pro parametr θ je (shora omezený interval) interval

• Pravděpodobnost, že skutečná hodnota parametru je menší než horní hranice intervalu je (1 − α)

3. Bayesovská statistika. Maximálně věrohodný odhad. Ilustrujte použití na příkladu.

= dvě metody nalezení bodového odhadu

Maximálně věrohodný odhad

• Vždy před použitím musíme specifikovat typ rozdělení, ze kterého data pocházejí

  • Rozdělení závisí na neznámém parametru θ

  • Hustota rozdělení/pravděpodobnostní funkce – g (x|θ)

  • Sdružená hustota f (x|θ) je dána součinem všech marginálních hustot/pravděpodobnostních funkcí) g náhodných veličin Xi

• Hledáme takovou hodnotu parametru θ, která maximalizuje hustotu f pro naše data

  • Na hustotu f se díváme jako na funkci proměnné θ -> věrohodnostní funkce L(θ)

• Hledáme θ̂, které maximalizuje věrohodnostní funkci

• Myšlenka testu - jestliže má realizace náhodného výběru při hodnotě parametru θ1 větší pravděpodobnost než při parametru θ2, pak uvažujeme že volba prvního parametru je vhodnější.

• Místo věrohodnostní funkce se často maximalizuje její přirozený logaritmus -> logaritmicko-věrohodnostní funkce

Bayesovská statistika

• Klasická statistika – z náhodného výběru veličiny X odhadujeme hodnotu parametru θ

• Bayesovská statistika – parametr θ považujeme na náhodnou veličinu Θ. Na základě předchozí (apriorní) informace/zkušenosti odhadujeme aposteriorní podmíněnou hustotu veličiny Θ (hustota po realizaci X) – odhadujeme pomocí Bayesovy věty

  • Podmínkou je, že podmíněné rozdělení veličiny X považujeme za známé

• 1. Zvolíme apriorní pravděpodobnostní funkci/hustotu p(θ) odhadovaných parametrů (na základě našeho očekávání)

• 2. Musíme znát sdruženou pravděpodobností funkci/hustotu dat pro danou hodnotu parametru - f(x|θ)

• 3. Pomocí Bayesovy věty přepočítáme podmíněné rozdělení neznámých parametrů za podmínky napozorovaných dat -> aposteriorní rozdělení

• Aposteriorní rozdělení je zpřesněním počátečního očekávání na základě napozorovaných dat

• Konkrétní hodnoty odhadu můžeme použít ty které maximalizují aposteriorní rozdělení