3-8 Součiny vektorů ET seminář
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
j
i
u
G
G
G
4
3
−
=
a
k
j
i
v
G
G
G
G
5
3
4
+
−
=
navzájem
kolmé.
Úkol 2.7 (HRW – 3.44.) Vektory ,
a
G
b
G
a jsou zadány podle obr. 2.11. Určete a)
, b)
, c)
G
.
c
G
b
a
G
G ⋅
c
a
G
G ⋅
c
b
G
⋅
Obr. 2.11
Příklad 2.8 (HRW – 3.54.)
Vypočtěte úhly mezi tělesovými úhlopříčkami krychle s délkou
hrany a.
Řešení: a, α = ?
y
z
x
a
a
a
ϕ
1
u
G
2
u
G
Úhel, který svírají dva vektory, můžeme vypočítat například z
definice skalárního součinu:
2
1
2
1
cos
u
u
u
u
G
G ⋅
=
ϕ
,
kde pro uhlopříčky ,
1
u
G
2
u
G platí:
)
,
,
(
1
a
a
a
u
G
,
)
,
,
(
2
a
a
a
u
−
G
,
3
2
1
a
u
u
=
=
.
Po dosazení
3
3
)
(
)
(
cos
a
a
a
k
a
j
a
i
a
k
a
j
a
i
a
⋅
−
+
⋅
+
+
=
G
G
G
G
G
G
ϕ
3
1
3
cos
2
2
2
2
=
−
+
=
a
a
a
a
ϕ
Pak hledaný úhel je ϕ =
D
5
,
70
3
1
arccos
=
.
2.9 Vektorový součin
Vektorový součin dvou vektorů aG a b
G
je vektor definovaný
vztahem
c
G
=
c
G
b
a
G
G × , (2.21)
kde vektory , , tvoří pravotočivý systém.
a
G
b
G
c
G
Velikost vektorového součinu je
b
a
c
c
G
G
G
×
=
=
, tj.
ϕ
sin
ab
c
=
,
(2.22)
kde
ϕ je úhel vektorů a (menší z obou úhlů sevřených přímkami,
v nichž vektory leží).
a
G
b
G
Vektor c je kolmý na rovinu určenou vektory
G
a
G a a jeho směr je
dán pravidlem pravé ruky (obr.2.12). Při zápisu pomocí jednotkových
vektorů je vektorový součin dán výrazem
b
G
(
) (
)k
b
j
b
i
b
k
a
j
a
i
a
b
a
z
y
x
z
y
x
G
G
G
G
G
G
G
G
+
+
×
+
+
=
×
,
(2.23)
který lze ještě upravit užitím distributivního zákona.
Vektorový součin lze zapsat determinantem
b
a
G
G × =
z
y
x
z
y
x
b
b
b
a
a
a
k
j
i
G
G
G
= (aybz – azby )i
G + (a
zbx – axbz) j
G + (a
xby – aybx ) k
G