3-8 Součiny vektorů ET seminář
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
= 1 a b) j
i
G
G
⋅
= k
j
G
G
⋅
=
= 0.
(2.20)
i
k
G
G
⋅
c) Změnily by se předcházející vztahy, kdyby soustava souřadnic
nebyla pravotočivá?
Řešení:
a) Z definice skalárního součinu pro vektory navzájem
rovnoběžné plyne
D
G
G
G
G
0
cos
i
i
i
i
⋅
=
⋅
,
kde velikost jednotkového vektoru
1
=
i
G
(byla již vypočítána – viz
příklad 2.2)
a cos = 1.
D
0
Pak po dosazení číselných hodnot je
1
1
1
1
=
⋅
⋅
=
⋅ i
i
G
G
.
(Stejně pro
1
=
⋅ j
j
G
G
a
.)
1
=
⋅ k
k
G
G
b) Z definice pro skalární součin pro vektory navzájem kolmé
plyne
D
G
G
G
G
90
cos
j
i
j
i
⋅
=
⋅
,
kde velikosti jednotkových vektorů jsou
1
=
= j
i
G
G
a cos
= 0,
D
90
pak je
0
0
1
1
=
⋅
⋅
=
⋅ j
i
G
G
.
c) Nezměnily, u skalárního součinu platí komutativní zákon.
Z výpočtu předcházejícího příkladu vyplývá, že libovolné
nenulové vektory a , jsou na sebe kolmé právě tehdy, když platí
.
G
b
G
0
=
⋅ b
a
G
G
Příklad 2.7 (HRW – 3.46.)Výpočet skalárního součinu vektorů pomocí složek. Ukažte, že pro
skalární součin vektorů
a
G = a
x i
G + a
y j
G + a
z
k
G ,
b
G
= bxi
G + b
y j
G + b
z
k
G
platí
b
a
G
G ⋅ = a
xbx + ayby + azbz.
Řešení:
a
G = a
x i
G + a
y j
G + a
z
k
G , b = b
G
x i
G + b
y j
G + b
z
k
G
,
b
a
G
G ⋅ = ?
Skalární součin zapíšeme ve tvaru
(
) (
)k
b
j
b
i
b
k
a
j
a
i
a
b
a
z
y
x
z
y
x
G
G
G
G
G
G
G
G
+
+
⋅
+
+
=
⋅
.
Použitím distributivního zákona po roznásobení dostaneme
z
z
y
y
x
x
z
z
y
z
x
z
y
y
x
y
z
x
y
x
x
x
z
z
y
z
x
z
z
y
y
y
x
y
z
x
y
x
x
x
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
k
k
b
a
j
k
b
a
i
k
b
a
k
j
b
a
j
j
b
a
i
j
b
a
k
i
b
a
j
i
b
a
i
i
b
a
b
a
+
+
=
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
1
0
0
1
0
0
0
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
Úkol 2.6 Zjistěte, zda jsou vektory