3-8 Součiny vektorů ET seminář

2.7  Násobení vektoru skalárem 

Výsledkem násobení vektoru vG skalárem  s  je vektor o velikosti 

|s|.| |. Pro s > 0 je jeho směr souhlasný se směrem vektoru v , pro s < 
0 je opačný. Vektor v dělíme skalárem s 

≠ 0, násobíme-li jej jeho 

převrácenou hodnotou 

v

G

G

G

s

1 .  

2.8  Skalární součin 

Skalární součin dvou vektorů  aG a  b

G

(značíme 

b

a

G

G ⋅ ) je skalární 

veličina, definovaná vztahem   
                           

ϕ

cos

ab

b

a

=

⋅

G

G

, 

(2.18) 

kde 

ϕ je úhel sevřený vektory aG a  b

G

. V závislosti na hodnotě 

ϕ může 

být skalární součin kladný, záporný nebo nulový. Z obr.2.10.b je 
zřejmé, že skalární součin vektorů lze získat vynásobením velikosti 
kteréhokoli z nich složkou druhého vektoru ve směru vektoru prvého.  

Skalární součin vektorů 

k

a

j

a

i

a

a

z

y

x

G

G

G

G

+

+

=

 a 

k

b

j

b

i

b

b

z

y

x

G

G

G

G

+

+

=

můžeme vyjádřit vztahem 
            

(

) (

)k

b

j

b

i

b

k

a

j

a

i

a

b

a

z

y

x

z

y

x

G

G

G

G

G

G

G

G

+

+

⋅

+

+

=

⋅

              (2.19) 

 
a při úpravě použijeme distributivní zákon.  

Obr. 2.10:   a) Vektory   a 

a

G

b

G

 svírají úhel ϕ .   b)  Složka  vektoru aG 

ve směru vektoru b je  

G

a cos ϕ , složka vektoru  ve směru vektoru 

b

G

a

G je b cos ϕ . 

Pro skalární součin platí: 

•  komutativní zákonj.                                          b

a

G

G ⋅ = 

. 

a

b

G

G

⋅

 
•  distributivní zákon                                   

c

a

b

a

c

b

a

G

G

G

G

G

G

G

⋅

+

⋅

=

+

⋅

)

(

. 

Pro skalární součin neplatí: 

•  asociativní zákon                                 

c

b

a

c

b

a

G

G

G

G

G

G

⋅

⋅

≠

⋅

⋅

)

(

)

(

.

Příklad 2.6  (HRW  – 3.38.)Ukažte, že v pravotočivé soustavě (proti směru chodu hodinových 
ručiček) souřadnic platí   
         a) i

i

G

G

⋅

=  j

j

G

G

⋅

=  k

k

G

G

⋅