1.Parciální derivace-teorie a příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
= ex
2−y (2x) · (2x3 + 2xy + 2x) + ex2−y(6x2 + 2y + 2)
= 2ex
2 −y (2x4 + 2x2y + 2x2 + 3x2 + y + 1)
= 2ex
2 −y (2x4 + 2x2y + 5x2 + y + 1)
z
′′
xy
= ex
2−1(2x) · (1 − x2 − y) + ex2−y · (−2x)
= 2xex
2−y (1 − x2 − y − 1)
= −2xex
2 −y (x2 + y)
Upravíme vytknutím
ex
2 −y .
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = (x2 + y)ex
2−y do řádu dva.
z
′
x
= 2x · ex
2−y + (x2 + y) · ex2−y(2x) = 2xex2−y(x2 + y + 1)
z
′
y
= 1 · ex
2−y + (x2 + y) · ex2−y(−1) = ex2−y(1 − x2 − y2)
z
′′
xx
= ex
2−y (2x) · (2x3 + 2xy + 2x) + ex2−y(6x2 + 2y + 2)
= 2ex
2 −y (2x4 + 2x2y + 2x2 + 3x2 + y + 1)
= 2ex
2 −y (2x4 + 2x2y + 5x2 + y + 1)
z
′′
xy
= ex
2−1(2x) · (1 − x2 − y) + ex2−y · (−2x)
= 2xex
2−y (1 − x2 − y − 1)
= −2xex
2 −y (x2 + y)
Přepíšeme derivaci
z
′
x do tvaru
z
′
x
= ex
2−y · 2x3 + 2xy + 2x
a použijeme pravidlo pro derivaci součinu
(
u · v)
′
= u′ · v + u · v′.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = (x2 + y)ex
2−y do řádu dva.
z
′
x
= 2x · ex
2−y + (x2 + y) · ex2−y(2x) = 2xex2−y(x2 + y + 1)
z
′
y
= 1 · ex
2−y + (x2 + y) · ex2−y(−1) = ex2−y(1 − x2 − y2)
z
′′
xx
= ex
2−y (2x) · (2x3 + 2xy + 2x) + ex2−y(6x2 + 2y + 2)
= 2ex
2 −y (2x4 + 2x2y + 2x2 + 3x2 + y + 1)
= 2ex
2 −y (2x4 + 2x2y + 5x2 + y + 1)
z
′′
xy
= ex
2−1(2x) · (1 − x2 − y) + ex2−y · (−2x)
= 2xex
2−y (1 − x2 − y − 1)