1.Parciální derivace-teorie a příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Najděte derivace funkce
z(x, y) =
q
1 −
x2 − y2 do řádu dva.
z
′
x
= −
x
p
1 −
x2 − y2
z
′
y
= −
y
p
1 −
x2 − y2
z
′′
xx
= −
1 ·
p
1 −
x2 − y2 − x · 1
2 · (1 − x
2 − y2)−1/2(−2x)
1 −
x2 − y2
= −
(1 −
x
2 − y2) + x2
(1 −
x2 − y2)3/2
=
y
2 − 1
(1 −
x2 − y2)3/2
z
′′
xy
= −x
−
1
2
(1 −
x2 − y2)
−
3
/2(−2y) = −
xy
(1 −
x2 − y2)3/2
z
′′
yy
=
x
2 − 1
(1 −
x2 − y2)3/2
Výpočet
z
′′
yy je podobný jako výpo
čet z′′
xx .
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = (x2 + y)ex
2−y do řádu dva.
z
′
x
= 2x · ex
2−y + (x2 + y) · ex2−y(2x) = 2xex2−y(x2 + y + 1)
z
′
y
= 1 · ex
2−y + (x2 + y) · ex2−y(−1) = ex2−y(1 − x2 − y2)
z
′′
xx
= ex
2−y (2x) · (2x3 + 2xy + 2x) + ex2−y(6x2 + 2y + 2)
= 2ex
2 −y (2x4 + 2x2y + 2x2 + 3x2 + y + 1)
= 2ex
2 −y (2x4 + 2x2y + 5x2 + y + 1)
z
′′
xy
= ex
2−1(2x) · (1 − x2 − y) + ex2−y · (−2x)
= 2xex
2−y (1 − x2 − y − 1)
= −2xex
2 −y (x2 + y)
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = (x2 + y)ex
2−y do řádu dva.
z
′
x
= 2x · ex
2−y + (x2 + y) · ex2−y(2x) = 2xex2−y(x2 + y + 1)
z
′
y
= 1 · ex
2−y + (x2 + y) · ex2−y(−1) = ex2−y(1 − x2 − y2)
z
′′
xx
= ex
2−y (2x) · (2x3 + 2xy + 2x) + ex2−y(6x2 + 2y + 2)
= 2ex
2 −y (2x4 + 2x2y + 2x2 + 3x2 + y + 1)
= 2ex
2 −y (2x4 + 2x2y + 5x2 + y + 1)
z
′′
xy
= ex
2−1(2x) · (1 − x2 − y) + ex2−y · (−2x)
= 2xex
2−y (1 − x2 − y − 1)