1.Parciální derivace-teorie a příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Najděte derivace funkce
z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
′
x
= −
y
x2 + y2
,
z
′
y
=
x
x2 + y2
,
z
′′
xx
= −y · (−1) · (x2 + y2)−2 · (2x + 0) =
2
xy
(
x2 + y2)2
z
′′
xy
= −
1 · (
x
2 + y2) − y · (0 + 2y)
(
x2 + y2)2
= −
x
2 − y2
(
x2 + y2)2
=
y
2 − x2
(
x2 + y2)2
z
′′
yy
= x · (−1) · (x2 + y2)−2 · (0 + 2y) = −
2
xy
(
x2 + y2)2
Našli jsme první derivace.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
′
x
= −
y
x2 + y2
,
z
′
y
=
x
x2 + y2
,
z
′′
xx
= −y · (−1) · (x2 + y2)−2 · (2x + 0) =
2
xy
(
x2 + y2)2
z
′′
xy
= −
1 · (
x
2 + y2) − y · (0 + 2y)
(
x2 + y2)2
= −
x
2 − y2
(
x2 + y2)2
=
y
2 − x2
(
x2 + y2)2
z
′′
yy
= x · (−1) · (x2 + y2)−2 · (0 + 2y) = −
2
xy
(
x2 + y2)2
Derivujeme
z
′
x
= −y · (x2 + y2)−1 podle x. Člen (−y) je konstantní
násobek a dále používáme pravidlo pro derivaci složené funkce
(
x2 + y2)
−
1.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
′
x
= −
y
x2 + y2
,
z
′
y
=
x
x2 + y2
,
z
′′
xx
= −y · (−1) · (x2 + y2)−2 · (2x + 0) =
2
xy
(
x2 + y2)2
z
′′
xy
= −
1 · (
x
2 + y2) − y · (0 + 2y)
(
x2 + y2)2
= −
x
2 − y2
(
x2 + y2)2
=
y
2 − x2
(
x2 + y2)2
z
′′
yy
= x · (−1) · (x2 + y2)−2 · (0 + 2y) = −
2
xy
(
x2 + y2)2
Upravíme.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
′
x
= −
y
x2 + y2
,
z
′
y
=
x
x2 + y2
,
z
′′
xx
= −y · (−1) · (x2 + y2)−2 · (2x + 0) =
2
xy
(
x2 + y2)2
z
′′
xy
= −
1 · (
x
2 + y2) − y · (0 + 2y)