1.Parciální derivace-teorie a příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
x
2 − y2
(
x2 + y2)2
=
y
2 − x2
(
x2 + y2)2
z
′′
yy
= x · (−1) · (x2 + y2)−2 · (0 + 2y) = −
2
xy
•
Derivujeme funkci arctg(·) podle pravidla
arctg
f (x)
′
=
1
1 +
f 2(x
(derivace funkce arkustangens a derivace složené funkce).
•
Výraz
y
x
derivujeme jako součin konstantního výrazu a moc-
ninné funkce, tj.
y
x
= y · x−1 .
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
′
x
=
1
1 +
y2
x2
·
y · (−1)x
−
2
= −
x
2
x2 + y2
·
y
x2
= −
y
x2 + y2
z
′
y
=
1
1 +
y2
x2
·
1
x
·
1 =
x
2
x2 + y2
·
1
x
=
x
x2 + y2
z
′
x
= −
y
x2 + y2
,
z
′
y
=
x
x2 + y2
,
z
′′
xx
= −y · (−1) · (x2 + y2)−2 · (2x + 0) =
2
xy
(
x2 + y2)2
z
′′
xy
= −
1 · (
x
2 + y2) − y · (0 + 2y)
(
x2 + y2)2
= −
x
2 − y2
(
x2 + y2)2
=
y
2 − x2
(
x2 + y2)2
z
′′
yy
= x · (−1) · (x2 + y2)−2 · (0 + 2y) = −
2
xy
Upravíme. Mimo jiné použijeme úpravu
1
1 +
y2
x2
=
x
2
x2
1 +
y2
x2
=
x
2
x2 + y2
a
x
−
2 =
1
x2
.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
′
x
=
1
1 +
y2
x2
·
y · (−1)x
−
2
= −
x
2
x2 + y2
·
y
x2
= −
y
x2 + y2
z
′
y
=
1
1 +
y2
x2
·
1
x
·
1 =
x
2
x2 + y2
·
1
x
=
x
x2 + y2
z
′
x
= −
y
x2 + y2
,
z
′
y
=
x
x2 + y2
,
z
′′
xx
= −y · (−1) · (x2 + y2)−2 · (2x + 0) =
2
xy
(
x2 + y2)2
z
′′
xy
= −
1 · (
x
2 + y2) − y · (0 + 2y)
(
x2 + y2)2
= −
x
2 − y2
(
x2 + y2)2
=
y
2 − x2
(
x2 + y2)2
z
′′
yy
= x · (−1) · (x2 + y2)−2 · (0 + 2y) = −
2
xy
Vynásobíme zlomky. Člen
x2 se zkrátí.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
′
x
=
1
1 +
y2
x2
·
y · (−1)x
−
2
= −
x
2
x2 + y2