1.Parciální derivace-teorie a příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2 − (y2 − 2y − x) · 2 · (y − 1) · (1 − 0)
(
y − 1)4
= 2(y − 1)
(
y − 1)
2 − (y2 − 2y − x)
(
y − 1)4
= 2
x + 1
(
y − 1)3
Našli jsme první derivace a použijeme je k výpočtu druhých
derivací.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) =
x + y
2
y − 1
do řádu dva.
z
′
x
=
1
y − 1
,
z
′
y
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
,
z
′′
xx
= 0,
z
′′
xy
= −
1
(
y − 1)2
z
′′
xx
= 0
z
′′
xy
= −1 · (y − 1)−2 · (1 − 0) = −
1
(
y − 1)2
z
′′
yy
=
(2
y − 2)(y − 1)
2 − (y2 − 2y − x) · 2 · (y − 1) · (1 − 0)
(
y − 1)4
= 2(y − 1)
(
y − 1)
2 − (y2 − 2y − x)
(
y − 1)4
= 2
x + 1
(
y − 1)3
•
Pro nalezení
z
′′
xx budeme derivovat z
′
x podle x.
•
Protože
z
′
x neobsahuje prom
ěnnou x, považujeme tento výraz
při derivování podle
x za konstantu a derivace konstanty je
nula.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) =
x + y
2
y − 1
do řádu dva.
z
′
x
=
1
y − 1
,
z
′
y
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
,
z
′′
xx
= 0,
z
′′
xy
= −
1
(
y − 1)2
z
′′
xx
= 0
z
′′
xy
= −1 · (y − 1)−2 · (1 − 0) = −
1
(
y − 1)2
z
′′
yy
=
(2
y − 2)(y − 1)
2 − (y2 − 2y − x) · 2 · (y − 1) · (1 − 0)
(
y − 1)4
= 2(y − 1)
(
y − 1)
2 − (y2 − 2y − x)
(
y − 1)4
= 2
x + 1
(
y − 1)3
•
Pro nalezení
z
′′
xy budeme derivovat z
′
x podle y .
•
Protože
z
′
x neobsahuje x, jedná se vlastn
ě o funkci jedné pro-
měnné a použijeme obyčejnou derivaci.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) =
x + y
2
y − 1