1.Parciální derivace-teorie a příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) =
x + y
2
y − 1
do řádu dva.
z
′
x
=
1
y − 1
,
z
′
y
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
,
z
′′
xx
= 0,
z
′′
xy
= −
1
(
y − 1)2
z
′
y
=
(
x + y
2)′
y (y − 1) − (x
+ y
2)(y − 1)′
y
(
y − 1)2
=
(0 + 2
y)(y − 1) − (x + y
2)(1 − 0)
(
y − 1)2
=
2
y
2 − 2y − (x + y2)
(
y − 1)2
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
z
′′
xx
= 0
Dokončíme derivaci čitatele a jmenovatele.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) =
x + y
2
y − 1
do řádu dva.
z
′
x
=
1
y − 1
,
z
′
y
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
,
z
′′
xx
= 0,
z
′′
xy
= −
1
(
y − 1)2
z
′
y
=
(
x + y
2)′
y (y − 1) − (x
+ y
2)(y − 1)′
y
(
y − 1)2
=
(0 + 2
y)(y − 1) − (x + y
2)(1 − 0)
(
y − 1)2
=
2
y
2 − 2y − (x + y2)
(
y − 1)2
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
z
′′
xx
= 0
Upravíme.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) =
x + y
2
y − 1
do řádu dva.
z
′
x
=
1
y − 1
,
z
′
y
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
,
z
′′
xx
= 0,
z
′′
xy
= −
1
(
y − 1)2
z
′
y
=
(
x + y
2)′
y (y − 1) − (x
+ y
2)(y − 1)′
y
(
y − 1)2
=
(0 + 2
y)(y − 1) − (x + y
2)(1 − 0)
(
y − 1)2
=
2
y
2 − 2y − (x + y2)
(
y − 1)2
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
z
′′
xx
= 0
Ještě upravíme a máme výsledek.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) =
x + y
2
y − 1
do řádu dva.
z
′
x
=
1
y − 1
,
z
′
y
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
,
z
′′
xx
= 0,
z
′′
xy
= −
1
(
y − 1)2
z
′′
xx
= 0
z
′′
xy
= −1 · (y − 1)−2 · (1 − 0) = −
1
(
y − 1)2
z
′′
yy
=
(2
y − 2)(y − 1)