1.Parciální derivace-teorie a příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1
(
y − 1)2
z
′′
yy
=
(2
y − 2)(y − 1)
2 − (y2 − 2y − x) · 2 · (y − 1) · (1 − 0)
(
y − 1)4
= 2(y − 1)
(
y − 1)
2 − (y2 − 2y − x)
(
y − 1)4
= 2
x + 1
(
y − 1)3
Upravíme čitatel – roznásobíme a sečteme odpovídající si členy.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) =
x + y
2
y − 1
do řádu dva.
z
′
x
=
1
y − 1
,
z
′
y
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
,
z
′′
xx
= 0,
z
′′
xy
= −
1
(
y − 1)2
z
′′
yy
=
(2
y − 2)(y − 1)
2 − (y2 − 2y − x) · 2 · (y − 1) · (1 − 0)
(
y − 1)4
= 2(y − 1)
(
y − 1)
2 − (y2 − 2y − x)
(
y − 1)4
= 2
x + 1
(
y − 1)3
Hotovo.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
′
x
=
1
1 +
y2
x2
·
y · (−1)x
−
2
= −
x
2
x2 + y2
·
y
x2
= −
y
x2 + y2
z
′
y
=
1
1 +
y2
x2
·
1
x
·
1 =
x
2
x2 + y2
·
1
x
=
x
x2 + y2
z
′
x
= −
y
x2 + y2
,
z
′
y
=
x
x2 + y2
,
z
′′
xx
= −y · (−1) · (x2 + y2)−2 · (2x + 0) =
2
xy
(
x2 + y2)2
z
′′
xy
= −
1 · (
x
2 + y2) − y · (0 + 2y)
(
x2 + y2)2
= −
x
2 − y2
(
x2 + y2)2
=
y
2 − x2
(
x2 + y2)2
z
′′
yy
= x · (−1) · (x2 + y2)−2 · (0 + 2y) = −
2
xy
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
′
x
=
1
1 +
y2
x2
·
y · (−1)x
−
2
= −
x
2
x2 + y2
·
y
x2
= −
y
x2 + y2
z
′
y
=
1
1 +
y2
x2
·
1
x
·
1 =
x
2
x2 + y2
·
1
x
=
x
x2 + y2
z
′
x
= −
y
x2 + y2
,
z
′
y
=
x
x2 + y2
,
z
′′
xx
= −y · (−1) · (x2 + y2)−2 · (2x + 0) =
2
xy
(
x2 + y2)2
z
′′
xy
= −
1 · (
x
2 + y2) − y · (0 + 2y)
(
x2 + y2)2
= −