1.Parciální derivace-teorie a příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
do řádu dva.
z
′
x
=
1
y − 1
,
z
′
y
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
,
z
′′
xx
= 0,
z
′′
xy
= −
1
(
y − 1)2
z
′′
xx
= 0
z
′′
xy
= −1 · (y − 1)−2 · (1 − 0) = −
1
(
y − 1)2
z
′′
yy
=
(2
y − 2)(y − 1)
2 − (y2 − 2y − x) · 2 · (y − 1) · (1 − 0)
(
y − 1)4
= 2(y − 1)
(
y − 1)
2 − (y2 − 2y − x)
(
y − 1)4
= 2
x + 1
(
y − 1)3
Upravíme.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) =
x + y
2
y − 1
do řádu dva.
z
′
x
=
1
y − 1
,
z
′
y
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
,
z
′′
xx
= 0,
z
′′
xy
= −
1
(
y − 1)2
z
′′
yy
=
(2
y − 2)(y − 1)
2 − (y2 − 2y − x) · 2 · (y − 1) · (1 − 0)
(
y − 1)4
= 2(y − 1)
(
y − 1)
2 − (y2 − 2y − x)
(
y − 1)4
= 2
x + 1
(
y − 1)3
•
Pro nalezení
z
′′
yy derivujeme z
′
y
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
podle
y. Pro-
tože
y je i v čitateli i ve jmenovateli, použijeme vzorec pro de-
rivaci podílu.
•
Výraz (
y − 1)2 derivujeme jako složenou funkci.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) =
x + y
2
y − 1
do řádu dva.
z
′
x
=
1
y − 1
,
z
′
y
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
,
z
′′
xx
= 0,
z
′′
xy
= −
1
(
y − 1)2
z
′′
yy
=
(2
y − 2)(y − 1)
2 − (y2 − 2y − x) · 2 · (y − 1) · (1 − 0)
(
y − 1)4
= 2(y − 1)
(
y − 1)
2 − (y2 − 2y − x)
(
y − 1)4
= 2
x + 1
(
y − 1)3
Vytkneme výraz 2(
y − 1)
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) =
x + y
2
y − 1
do řádu dva.
z
′
x
=
1
y − 1
,
z
′
y
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
,
z
′′
xx
= 0,
z
′′
xy
= −