Dvojný integrál-příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
VÝPOČET DVOJNÉHO INTEGRÁLU
Robert Mařík
2. října 2009
Obsah
Fubiniho věta na obdélníku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Fubiniho věta na obecné množině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Transformace do polárních souřadnic
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
3
1
2
x
y
Ω
Z Z
Ω
(x + y) dx dy =
Z 2
1
hZ 3
0
(x + y) dx
i
dy =
Z 2
1
h x
2
2
+ xy
i3
0
dy
=
Z 2
1
h 9
2
+ 3y −
0
2
+ 0y
i
dy =
Z 2
1
9
2
+ 3y
dy
=
h 9
2
y +
3
y
2
2
i2
1
= 9
2
· 2 + 3 ·
4
2
−
9
2
+ 3 ·
1
2
= 9 + 6 − 6 = 9
Budeme počítat integrál funkce x + y na obdélníku Ω.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
3
1
2
x
y
Ω
Z Z
Ω
(x + y) dx dy =
Z 2
1
hZ 3
0
(x + y) dx
i
dy =
Z 2
1
h x
2
2
+ xy
i3
0
dy
=
Z 2
1
h 9
2
+ 3y −
0
2
+ 0y
i
dy =
Z 2
1
9
2
+ 3y
dy
=
h 9
2
y +
3
y
2
2
i2
1
= 9
2
· 2 + 3 ·
4
2
−
9
2
+ 3 ·
1
2
= 9 + 6 − 6 = 9
Z obrázku určíme meze pro jednotlivé proměnné. Budeme nejprve integrovat
podle y a potom podle x (ale šlo by to i naopak).
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
3
1
2
x
y
Ω
Z Z
Ω
(x + y) dx dy =
Z 2
1
hZ 3
0
(x + y) dx
i
dy =
Z 2
1
h x
2
2
+ xy
i3
0
dy
=
Z 2
1
h 9
2
+ 3y −
0
2
+ 0y
i
dy =
Z 2
1
9
2
+ 3y
dy
=
h 9
2
y +
3
y
2
2
i2
1
= 9
2
· 2 + 3 ·
4
2
−
9
2
+ 3 ·
1
2
= 9 + 6 − 6 = 9
Z
x
dx =
x
2
2
Z
y
dx = y
Z
1 dx = yx
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
3
1
2
x
y
Ω
Z Z
Ω
(x + y) dx dy =
Z 2
1
hZ 3
0
(x + y) dx
i
dy =
Z 2
1
h x
2
2
+ xy
i3
0
dy
=
Z 2
1
h 9
2
+ 3y −
0
2
+ 0y
i
dy =
Z 2
1
9
2
+ 3y
dy
=
h 9
2
y +
3
y
2
2
i2
1
= 9
2
· 2 + 3 ·