Dvojný integrál-příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
4
2
−
9
2
+ 3 ·
1
2
= 9 + 6 − 6 = 9
Použijeme Newtonovu-Leibnizovu větu.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
3
1
2
x
y
Ω
Z Z
Ω
(x + y) dx dy =
Z 2
1
hZ 3
0
(x + y) dx
i
dy =
Z 2
1
h x
2
2
+ xy
i3
0
dy
=
Z 2
1
h 9
2
+ 3y −
0
2
+ 0y
i
dy =
Z 2
1
9
2
+ 3y
dy
=
h 9
2
y +
3
y
2
2
i2
1
= 9
2
· 2 + 3 ·
4
2
−
9
2
+ 3 ·
1
2
= 9 + 6 − 6 = 9
Upravíme
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
3
1
2
x
y
Ω
Z Z
Ω
(x + y) dx dy =
Z 2
1
hZ 3
0
(x + y) dx
i
dy =
Z 2
1
h x
2
2
+ xy
i3
0
dy
=
Z 2
1
h 9
2
+ 3y −
0
2
+ 0y
i
dy =
Z 2
1
9
2
+ 3y
dy
=
h 9
2
y +
3
y
2
2
i2
1
= 9
2
· 2 + 3 ·
4
2
−
9
2
+ 3 ·
1
2
= 9 + 6 − 6 = 9
Integrujeme podle y
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
3
1
2
x
y
Ω
Z Z
Ω
(x + y) dx dy =
Z 2
1
hZ 3
0
(x + y) dx
i
dy =
Z 2
1
h x
2
2
+ xy
i3
0
dy
=
Z 2
1
h 9
2
+ 3y −
0
2
+ 0y
i
dy =
Z 2
1
9
2
+ 3y
dy
=
h 9
2
y +
3
y
2
2
i2
1
= 9
2
· 2 + 3 ·
4
2
−
9
2
+ 3 ·
1
2
= 9 + 6 − 6 = 9
Použijeme Newtonovu-Leibnizovu větu.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
3
1
2
x
y
Ω
Z Z
Ω
(x + y) dx dy =
Z 2
1
hZ 3
0
(x + y) dx
i
dy =
Z 2
1
h x
2
2
+ xy
i3
0
dy
=
Z 2
1
h 9
2
+ 3y −
0
2
+ 0y
i
dy =
Z 2
1
9
2
+ 3y
dy
=
h 9
2
y +
3
y
2
2
i2
1
= 9
2
· 2 + 3 ·
4
2
−
9
2
+ 3 ·
1
2
= 9 + 6 − 6 = 9
Hotovo.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
1
0
x
y
xmin = 0,
xmax = 1,
ymin = 1 − x,
ymax =
p
1 − x2
Z Z
Ω
2y dx dy =
Z
0
1
Z
1−x
√
1−x2 2y dy
dx
=
Z 1
0
h
y2
i
√
1−x2
1−x
dx
=
Z 1
0
h
1 − x
2 − (1 − x)2
i
dx
=
Z 1
0
1 − x
2 − (1 − 2x + x2)
dx
=
Z 1
0
2x − 2x
2
dx
=
h
x2
−
2
3
x3
i1
0
= 1 −
2
3
= 1
3
Máme vypočítat
Z Z
Ω
2y dx dy kde množina Ω leží v prvním kvadrantu, shora
je ohraničena jednotkovou kružnicí x2 + y2 = 1 a zdola přímkou x + y − 1 = 0.