Dvojný integrál-příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
1
0
x
y
y =
1
−
x
y =
p
1 − x2
xmin = 0,
xmax = 1,
ymin = 1 − x,
ymax =
p
1 − x2
Z Z
Ω
2y dx dy =
Z
0
1
Z
1−x
√
1−x2 2y dy
dx
=
Z 1
0
h
y2
i
√
1−x2
1−x
dx
=
Z 1
0
h
1 − x
2 − (1 − x)2
i
dx
=
Z 1
0
1 − x
2 − (1 − 2x + x2)
dx
=
Z 1
0
2x − 2x
2
dx
=
h
x2
−
2
3
x3
i1
0
= 1 −
2
3
= 1
3
x
2 + y2 = 1 ⇒ y =
p
1 − x2
x + y
− 1 = 0 ⇒ y = 1 − x
Budeme integrovat nejprve podle y (v proměnných mezích) a potom podle x
(v pevných mezích).
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
1
0
x
y
y =
1
−
x
y =
p
1 − x2
xmin = 0,
xmax = 1,
ymin = 1 − x,
ymax =
p
1 − x2
Z Z
Ω
2y dx dy =
Z
0
1
Z
1−x
√
1−x2 2y dy
dx
=
Z 1
0
h
y2
i
√
1−x2
1−x
dx
=
Z 1
0
h
1 − x
2 − (1 − x)2
i
dx
=
Z 1
0
1 − x
2 − (1 − 2x + x2)
dx
=
Z 1
0
2x − 2x
2
dx
=
h
x2
−
2
3
x3
i1
0
= 1 −
2
3
= 1
3
Meze pro x jsou patrné z obrázku.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
1
0
x
y
y =
1
−
x
y =
p
1 − x2
xmin = 0,
xmax = 1,
ymin = 1 − x,
ymax =
p
1 − x2
Z Z
Ω
2y dx dy =
Z
0
1
Z
1−x
√
1−x2 2y dy
dx
=
Z 1
0
h
y2
i
√
1−x2
1−x
dx
=
Z 1
0
h
1 − x
2 − (1 − x)2
i
dx
=
Z 1
0
1 − x
2 − (1 − 2x + x2)
dx
=
Z 1
0
2x − 2x
2
dx
=
h
x2
−
2
3
x3
i1
0
= 1 −
2
3
= 1
3
Stanovíme meze pro y. Uvažujeme libovolnou hodnotu x mezi xmin a xmax a
hledáme omezení pro y.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
1
0
x
y
y =
1
−
x
y =
p
1 − x2
xmin = 0,
xmax = 1,
ymin = 1 − x,
ymax =
p
1 − x2
Z Z
Ω
2y dx dy =
Z
0
1
Z
1−x
√
1−x2 2y dy
dx
=
Z 1
0
h
y2
i
√
1−x2
1−x
dx
=
Z 1
0
h
1 − x
2 − (1 − x)2
i
dx
=
Z 1
0
1 − x
2 − (1 − 2x + x2)
dx
=
Z 1
0
2x − 2x
2
dx
=
h
x2
−
2
3
x3
i1
0
= 1 −
2
3
= 1
3
Hodnoty y začínají na přímce a končí na kružnici. Rovnice přímky tedy bude
dolním a rovnice kružnice horním omezením na y.