Dvojný integrál-příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
1
0
x
y
y =
1
−
x
y =
p
1 − x2
xmin = 0,
xmax = 1,
ymin = 1 − x,
ymax =
p
1 − x2
Z Z
Ω
2y dx dy =
Z
0
1
Z
1−x
√
1−x2 2y dy
dx
=
Z 1
0
h
y2
i
√
1−x2
1−x
dx
=
Z 1
0
h
1 − x
2 − (1 − x)2
i
dx
=
Z 1
0
1 − x
2 − (1 − 2x + x2)
dx
=
Z 1
0
2x − 2x
2
dx
=
h
x2
−
2
3
x3
i1
0
= 1 −
2
3
= 1
3
Hotovo.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
y
1
x
Ω
r
∈ (0, 1]
φ
∈ [0,
π
2
]
Z Z
Ω
x
dx dy =
Z 1
0
Z
π
2
0
r
cos φ
|
{z
}
funkce
r
|{z}
Jakobián
dφ
dr
=
Z 1
0
h
r2
sin φ
i
π
2
0
dr
=
Z 1
0
h
r2
sin
π
2
− r sin 0
i
dr
=
Z 1
0
h
r2
i
dr
=
h r
3
3
i1
0
= 1
3
−
0
3
= 1
3
• Budeme počítat integrál
Z Z
x
dx dy přes část jednotkového kruhu, která
leží v prvním kvadrantu.
• Protože integrační obor je část kruhu, zdá se býti vhodné přejít do po-
lárních souřadnic.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
y
1
x
Ω
r
∈ (0, 1]
φ
∈ [0,
π
2
]
Z Z
Ω
x
dx dy =
Z 1
0
Z
π
2
0
r
cos φ
|
{z
}
funkce
r
|{z}
Jakobián
dφ
dr
=
Z 1
0
h
r2
sin φ
i
π
2
0
dr
=
Z 1
0
h
r2
sin
π
2
− r sin 0
i
dr
=
Z 1
0
h
r2
i
dr
=
h r
3
3
i1
0
= 1
3
−
0
3
= 1
3
• Meze pro r a φ jsou konstanty.
• Za x dosazujeme podle transformačních vztahů x = r cos φ.
• Přidáme Jakobián, který je v polárních souřadnicích roven r.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
y
1
x
Ω
r
∈ (0, 1]
φ
∈ [0,
π
2
]
Z Z
Ω
x
dx dy =
Z 1
0
Z
π
2
0
r
cos φ
|
{z
}
funkce
r
|{z}
Jakobián
dφ
dr
=
Z 1
0
h
r2
sin φ
i
π
2
0
dr
=
Z 1
0
h
r2
sin
π
2
− r sin 0
i
dr
=
Z 1
0
h
r2
i
dr
=
h r
3
3
i1
0
= 1
3
−
0
3
= 1
3
Integrujeme přes φ.
Z
cos φ dφ = sin φ
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
y
1
x
Ω
r
∈ (0, 1]
φ
∈ [0,
π
2
]
Z Z
Ω
x
dx dy =
Z 1
0
Z
π
2
0
r
cos φ
|
{z
}
funkce
r
|{z}
Jakobián
dφ
dr
=
Z 1
0
h
r2
sin φ
i
π
2
0
dr
=
Z 1
0
h
r2
sin
π
2
− r sin 0
i
dr
=
Z 1
0
h
r2
i
dr
=
h r
3
3
i1
0
= 1
3
−
0
3
= 1
3
Použijeme Newtonovu-Leibnizovu větu.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲