Dvojný integrál-příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
c
Robert Mařík, 2009 ×
y
1
x
Ω
r
∈ (0, 1]
φ
∈ [0,
π
2
]
Z Z
Ω
x
dx dy =
Z 1
0
Z
π
2
0
r
cos φ
|
{z
}
funkce
r
|{z}
Jakobián
dφ
dr
=
Z 1
0
h
r2
sin φ
i
π
2
0
dr
=
Z 1
0
h
r2
sin
π
2
− r sin 0
i
dr
=
Z 1
0
h
r2
i
dr
=
h r
3
3
i1
0
= 1
3
−
0
3
= 1
3
Upravíme.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
y
1
x
Ω
r
∈ (0, 1]
φ
∈ [0,
π
2
]
Z Z
Ω
x
dx dy =
Z 1
0
Z
π
2
0
r
cos φ
|
{z
}
funkce
r
|{z}
Jakobián
dφ
dr
=
Z 1
0
h
r2
sin φ
i
π
2
0
dr
=
Z 1
0
h
r2
sin
π
2
− r sin 0
i
dr
=
Z 1
0
h
r2
i
dr
=
h r
3
3
i1
0
= 1
3
−
0
3
= 1
3
Integrujeme přes r.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
y
1
x
Ω
r
∈ (0, 1]
φ
∈ [0,
π
2
]
Z Z
Ω
x
dx dy =
Z 1
0
Z
π
2
0
r
cos φ
|
{z
}
funkce
r
|{z}
Jakobián
dφ
dr
=
Z 1
0
h
r2
sin φ
i
π
2
0
dr
=
Z 1
0
h
r2
sin
π
2
− r sin 0
i
dr
=
Z 1
0
h
r2
i
dr
=
h r
3
3
i1
0
= 1
3
−
0
3
= 1
3
• Použijeme Newtonovu-Leibnizovu větu a upravíme.
• Hotovo.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
y
1
x
Ω
V kartézských souřadnicích:
Z Z
Ω
x
dx dy =
Z 1
0
Z
√
1−x2
0
x
dy
dx
=
Z 1
0
h
xy
i
√
1−x2
0
dx
=
Z 1
0
x
p
1 − x2 dx
= substituční metodou . . .
=
h
−
1
3
(1 − x
2)
3
2
i1
0
= −
1
3
(0)
3
2
−
−
1
3
(1)
3
2
=
1
3
Pro srovnání ukažme výpočet v kartézských souřadnicích
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
KONEC
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Document Outline
- Fubiniho veta na obdélníku
- Fubiniho veta na obecné množine
- Transformace do polárních souradnic