1.Parciální derivace-teorie a příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
z
′
x
= (x + y)′
x · e
−
x + (x + y) · (e−x)′
x
= (1 + 0)e−x + (x + y) · e−x · (−1) = e−x · (1 − x − y)
z
′
y
= (x + y)′
y · e
−
x = (0 + 1)e−x = e−x
z
′′
xx
= e−x · (−1) · (1 − x − y) + e−x(0 − 1 − 0)
= e−x(−1 + x + y − 1) = e−x(x + y − 2)
z
′′
xy
= (e−x)′
x
= −e−x
z
′′
yy
= 0
Abychom našli
z
′′
yy , budeme derivovat z
′
y podle y . Pozor! Prom
ěnná
y v derivaci z
′
y v
ůbec nefiguruje. Výraz z′
y je tedy konstanta
vzhledem k
y a jeho derivace je nula.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = (x + y)e
−
x do řádu dva.
z
′
x
= (x + y)′
x · e
−
x + (x + y) · (e−x)′
x
= (1 + 0)e−x + (x + y) · e−x · (−1) = e−x · (1 − x − y)
z
′
y
= (x + y)′
y · e
−
x = (0 + 1)e−x = e−x
z
′′
xx
= e−x · (−1) · (1 − x − y) + e−x(0 − 1 − 0)
= e−x(−1 + x + y − 1) = e−x(x + y − 2)
z
′′
xy
= (e−x)′
x
= −e−x
z
′′
yy
= 0
Hotovo.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) =
x + y
2
y − 1
do řádu dva.
z
′
x
=
1
y − 1
·
(1 + 0) =
1
y − 1
z
′
x
=
1
y − 1
,
z
′
y
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
,
z
′′
xx
= 0,
z
′′
xy
= −
1
(
y − 1)2
z
′
y
=
(
x + y
2)′
y (y − 1) − (x
+ y2)(y − 1)
′
y
(
y − 1)2
=
(0 + 2
y)(y − 1) − (x + y
2)(1 − 0)
(
y − 1)2
=
2
y
2 − 2y − (x + y2)
(
y − 1)2
=
y
2 − 2y − x
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) =
x + y
2
y − 1
do řádu dva.
z
′
x
=
1
y − 1
·
(1 + 0) =