1.Parciální derivace-teorie a příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
z
′′
xy
= (2x + y)′
y
= 0 + 1 = 1
z
′′
yy
= (x + 3y2)′
y
= 0 + 3 · 2y1 = 6y
Abychom našli
z
′′
yy derivujeme z
′
y podle y .
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = x2 + xy + y3 do řádu dva.
z
′
x
= 2x + 1 · y + 0 = 2x + y
z
′
y
= 0 + x · 1 + 3y2 = x + 3y2
z
′′
xx
= (2x + y)′
x
= 2 · 1 + 0 = 2
z
′′
xy
= (2x + y)′
y
= 0 + 1 = 1
z
′′
yy
= (x + 3y2)′
y
= 0 + 3 · 2y1 = 6y
Použijeme vzorec pro derivaci součtu, derivaci konstantního
násobku a derivaci mocninné funkce.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = x2 + xy + y3 do řádu dva.
z
′
x
= 2x + 1 · y + 0 = 2x + y
z
′
y
= 0 + x · 1 + 3y2 = x + 3y2
z
′′
xx
= (2x + y)′
x
= 2 · 1 + 0 = 2
z
′′
xy
= (2x + y)′
y
= 0 + 1 = 1
z
′′
yy
= (x + 3y2)′
y
= 0 + 3 · 2y1 = 6y
Upravíme.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = x2 + xy + y3 do řádu dva.
z
′
x
= 2x + 1 · y + 0 = 2x + y
z
′
y
= 0 + x · 1 + 3y2 = x + 3y2
z
′′
xx
= (2x + y)′
x
= 2 · 1 + 0 = 2
z
′′
xy
= (2x + y)′
y
= 0 + 1 = 1
z
′′
yy
= (x + 3y2)′
y
= 0 + 3 · 2y1 = 6y
Hotovo.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = (x + y)e
−
x do řádu dva.
z
′
x
= (x + y)′
x · e
−
x + (x + y) · (e−x)′
x
= (1 + 0)e−x + (x + y) · e−x · (−1) = e−x · (1 − x − y)
z
′
y
= (x + y)′
y · e
−
x = (0 + 1)e−x = e−x
z
′′
xx
= e−x · (−1) · (1 − x − y) + e−x(0 − 1 − 0)
= e−x(−1 + x + y − 1) = e−x(x + y − 2)