1.Parciální derivace-teorie a příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
čujeme C(M), množinu hladkých funkcí C1(M), množinu hladkých
funkcí řádu
k označujeme Ck (M).
Poznámka 2. V bodě, ve kterém má funkce jedné proměnné derivaci,
je funkce spojitá a má tečnu. U funkce více proměnných podobná věta
neplatí, z existence parciálních derivací neplyne spojitost. Spojitost
plyne až z existence a spojitosti parciálních derivací. Následující věta
udává, že funkce hladké v okolí nějakého bodu jsou v tomto bodě
spojité, mají tomto bodě tečnou rovinu a funkční hodnoty těchto funkcí
lze aproximovat funkčními hodnotami na této tečné rovině, tj. že v
okolí bodu dotyku leží body na grafu funkce blízko tečné roviny.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Teorie.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Věta 2. Nechť funkce
f má definované a spojité parciální derivace
v okolí bodu (
x
0, y0). Potom platí následující.
•
Funkce
f je v bodě (x
0, y0) spojitá.
•
Rovina o rovnici
z = f (x
0, y0)
+ f ′
x (x0, y0)(x − x0)
+ f ′
y (x0, y0)(y − y0)
je tečná rovina ke grafu funkce
f v bodě (x
0, y0, f (x0, y0))
•
Platí přibližný vzorec
f (x, y) ≈ f (x
0, y0)
+ f ′
x (x0, y0)(x − x0)
+ f ′
y (x0, y0)(y − y0).
V tomto vzorci je přesnost tím větší, čím
– je menší vzdálenost bodů (
x, y) a (x
0, y0),
– jsou menší druhé derivace funkce
f (pokud existují).
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Teorie.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Cvičení.
Zadání. V následujících cvičeních nalezněte parciální derivace do
řádu dva (včetně). U všech těchto funkcí jsou smíšené parciální
derivace stejné.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = x2 + xy + y3 do řádu dva.
z
′
x
= 2x + 1 · y + 0 = 2x + y
z
′
y
= 0 + x · 1 + 3y2 = x + 3y2