1.Parciální derivace-teorie a příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
z
′′
xx
= (2x + y)′
x
= 2 · 1 + 0 = 2
z
′′
xy
= (2x + y)′
y
= 0 + 1 = 1
z
′′
yy
= (x + 3y2)′
y
= 0 + 3 · 2y1 = 6y
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = x2 + xy + y3 do řádu dva.
z
′
x
= 2x + 1 · y + 0 = 2x + y
z
′
y
= 0 + x · 1 + 3y2 = x + 3y2
z
′′
xx
= (2x + y)′
x
= 2 · 1 + 0 = 2
z
′′
xy
= (2x + y)′
y
= 0 + 1 = 1
z
′′
yy
= (x + 3y2)′
y
= 0 + 3 · 2y1 = 6y
Derivujeme součet (
x2 + xy + y3) podle x.
•
x2 derivujeme jako funkci jedné proměnné.
•
Proměnnou
y v součinu xy považujeme při derivaci podle x
za konstantu a proto derivujeme podle pravidla pro derivaci
konstantního násobku. Derivace funkce
x podle x je obyčejná
derivace funkce jedné proměnné.
• Č
len
y3 neobsahuje proměnnou x. Proto je tento člen při deri-
vaci podle
x považován za konstantu a derivováním vypadne
(derivace konstantní funkce je nula).
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = x2 + xy + y3 do řádu dva.
z
′
x
= 2x + 1 · y + 0 = 2x + y
z
′
y
= 0 + x · 1 + 3y2 = x + 3y2
z
′′
xx
= (2x + y)′
x
= 2 · 1 + 0 = 2
z
′′
xy
= (2x + y)′
y
= 0 + 1 = 1
z
′′
yy
= (x + 3y2)′
y
= 0 + 3 · 2y1 = 6y
Upravíme.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = x2 + xy + y3 do řádu dva.
z
′
x
= 2x + 1 · y + 0 = 2x + y
z
′
y
= 0 + x · 1 + 3y2 = x + 3y2
z
′′
xx
= (2x + y)′
x
= 2 · 1 + 0 = 2
z
′′
xy
= (2x + y)′
y
= 0 + 1 = 1
z
′′
yy
= (x + 3y2)′
y
= 0 + 3 · 2y1 = 6y