1.Parciální derivace-teorie a příklady

x). Řekneme, že funkce má na

otevřené množině

M parciální derivaci podle x, jestliže má v kaž-

dém bodě množiny

M parciální derivaci podle x. Předpisem, který

každému bodu takovéto množiny

M přiřadí hodnotu parciální deri-

vace podle

x v tomto bodě je definována funkce nazývaná parci-

ální derivace podle

x.

Podobně, pohlížíme-li na funkci

f pouze jako na funkci proměnné y,

je derivace této funkce jedné proměnné parciální derivací funkce

f

podle

y.

Definice (parciální derivace podle

y). Parciální derivaci podle y

definujeme pomocí limity

f

′

y (x, y )

= lim

∆y→0

f (x, y + ∆y) − f (x, y)

∆y

.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Teorie.

c

Robert Mařík, 2009 ×

Definice (vyšší derivace). Opětovným derivováním těchto funkcí
dostáváme druhé a vyšší derivace (podobně jako v jednorozměr-
ném případě).

Poznámka 1. Derivaci funkce

z = f (x, y) podle x označujeme též

fx, z

′

x, zx,

∂f

∂x

,

∂z

∂x

. Podobně pro derivaci podle

y. Druhé derivace

označujeme

z

′′

xx , f

′′

yy , z

′′

xy ,

∂

2z

∂x∂y

,

∂

2z

∂y2

a podobně.

Následující věta ukazuje, že smíšené druhé derivace jsou většinou
totožné, tj. že druhé derivace existují ve většině případů pouze tři.

Věta 1 (Schwarzova věta). Jsou-li parciální derivace

f

′′

xy a f

′′

yx defino-

vané a spojité na otevřené množině

M, jsou totožné, tj. pro všechna

(

x, y) ∈ M platí

f

′′

xy (x, y )

= f ′′

yx (x, y ).

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

Teorie.

c

Robert Mařík, 2009 ×

Definice (hladké funkce). Buď

M otevřená množina. Řekneme,

že funkce f je hladká na M, jestliže má na množině M spojité
všechny první parciální derivace. Řekneme, že funkce

f je na M

hladká řádu

k, jestliže má na množině M spojité všechny parciální

derivace do řádu

k včetně. Množinu spojitých funkcí na M ozna-