1.Parciální derivace-teorie a příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1
y − 1
z
′
x
=
1
y − 1
,
z
′
y
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
,
z
′′
xx
= 0,
z
′′
xy
= −
1
(
y − 1)2
z
′
y
=
(
x + y
2)′
y (y − 1) − (x
+ y2)(y − 1)
′
y
(
y − 1)2
=
(0 + 2
y)(y − 1) − (x + y
2)(1 − 0)
(
y − 1)2
=
2
y
2 − 2y − (x + y2)
(
y − 1)2
=
y
2 − 2y − x
•
Abychom měli derivování co nejpohodlnější, napíšeme funkci
ve tvaru součinu
1
y − 1
·
(
x + y2) .
•
Výraz
1
y − 1
neobsahuje
x a je tedy při derivování podle x kon-
stantním násobkem. Potom je derivování snadné.
•
Zbývá zderivovat člen (
x + y2) jako součet.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) =
x + y
2
y − 1
do řádu dva.
z
′
x
=
1
y − 1
·
(1 + 0) =
1
y − 1
z
′
x
=
1
y − 1
,
z
′
y
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
,
z
′′
xx
= 0,
z
′′
xy
= −
1
(
y − 1)2
z
′
y
=
(
x + y
2)′
y (y − 1) − (x
+ y2)(y − 1)
′
y
(
y − 1)2
=
(0 + 2
y)(y − 1) − (x + y
2)(1 − 0)
(
y − 1)2
=
2
y
2 − 2y − (x + y2)
(
y − 1)2
=
y
2 − 2y − x
Upravíme.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) =
x + y
2
y − 1
do řádu dva.
z
′
x
=
1
y − 1
,
z
′
y
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
,
z
′′
xx
= 0,
z
′′
xy
= −
1
(
y − 1)2
z
′
y
=
(
x + y
2)′
y (y − 1) − (x
+ y
2)(y − 1)′
y
(
y − 1)2
=
(0 + 2
y)(y − 1) − (x + y
2)(1 − 0)
(
y − 1)2
=
2
y
2 − 2y − (x + y2)
(
y − 1)2
=
y
2 − 2y − x
(
y − 1)2
z
′′
xx
= 0
Při derivování podle
y musíme použit vzorec pro derivaci podílu,
protože proměnná
y figuruje i v čitateli i ve jmenovateli a finta z
předchozího kroku je nyní nepoužitelná. Derivujeme tedy podíl
x + y
2
y − 1