1.Parciální derivace-teorie a příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
y
= (x + y)′
y · e
−
x = (0 + 1)e−x = e−x
z
′′
xx
= e−x · (−1) · (1 − x − y) + e−x(0 − 1 − 0)
= e−x(−1 + x + y − 1) = e−x(x + y − 2)
z
′′
xy
= (e−x)′
x
= −e−x
z
′′
yy
= 0
Upravíme.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = (x + y)e
−
x do řádu dva.
z
′
x
= (x + y)′
x · e
−
x + (x + y) · (e−x)′
x
= (1 + 0)e−x + (x + y) · e−x · (−1) = e−x · (1 − x − y)
z
′
y
= (x + y)′
y · e
−
x = (0 + 1)e−x = e−x
z
′′
xx
= e−x · (−1) · (1 − x − y) + e−x(0 − 1 − 0)
= e−x(−1 + x + y − 1) = e−x(x + y − 2)
z
′′
xy
= (e−x)′
x
= −e−x
z
′′
yy
= 0
Abychom našli smíšenou derivaci, vypočteme buď (
z
′
x)
′
y nebo (z
′
y )
′
x.
Druhá možnost se zdá býti schůdnější.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = (x + y)e
−
x do řádu dva.
z
′
x
= (x + y)′
x · e
−
x + (x + y) · (e−x)′
x
= (1 + 0)e−x + (x + y) · e−x · (−1) = e−x · (1 − x − y)
z
′
y
= (x + y)′
y · e
−
x = (0 + 1)e−x = e−x
z
′′
xx
= e−x · (−1) · (1 − x − y) + e−x(0 − 1 − 0)
= e−x(−1 + x + y − 1) = e−x(x + y − 2)
z
′′
xy
= (e−x)′
x
= −e−x
z
′′
yy
= 0
Protože funkce
z
′
y je funkcí jedné prom
ěnné, derivujeme jako v
diferenciální počtu funkce jedné proměnné pomocí řetězového
pravidla pro derivaci složené funkce:
(
e
−
x)′ = e−x(−x)′ = e−x(−1)
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = (x + y)e
−
x do řádu dva.