1.Parciální derivace-teorie a příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
(
x2 + y2).
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
′
x
= −
y
x2 + y2
,
z
′
y
=
x
x2 + y2
,
z
′′
xx
= −y · (−1) · (x2 + y2)−2 · (2x + 0) =
2
xy
(
x2 + y2)2
z
′′
xy
= −
1 · (
x
2 + y2) − y · (0 + 2y)
(
x2 + y2)2
= −
x
2 − y2
(
x2 + y2)2
=
y
2 − x2
(
x2 + y2)2
z
′′
yy
= x · (−1) · (x2 + y2)−2 · (0 + 2y) = −
2
xy
(
x2 + y2)2
Upravíme.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) = arctg
y
x
do řádu dva.
z
′
x
= −
y
x2 + y2
,
z
′
y
=
x
x2 + y2
,
z
′′
xx
= −y · (−1) · (x2 + y2)−2 · (2x + 0) =
2
xy
(
x2 + y2)2
z
′′
xy
= −
1 · (
x
2 + y2) − y · (0 + 2y)
(
x2 + y2)2
= −
x
2 − y2
(
x2 + y2)2
=
y
2 − x2
(
x2 + y2)2
z
′′
yy
= x · (−1) · (x2 + y2)−2 · (0 + 2y) = −
2
xy
(
x2 + y2)2
Hotovo.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) =
q
1 −
x2 − y2 do řádu dva.
z
′
x
= 1
2
(1 −
x2 − y2)
−
1
/2(−2x) = −
x
p
1 −
x2 − y2
z
′
y
= 1
2
(1 −
x2 − y2)
−
1
/2(−2y) = −
y
p
1 −
x2 − y2
z
′
x
= −
x
p
1 −
x2 − y2
z
′
y
= −
y
p
1 −
x2 − y2
z
′′
xx
= −
1 ·
p
1 −
x2 − y2 − x · 1
2 · (1 − x
2 − y2)−1/2(−2x)
1 −
x2 − y2
= −
(1 −
x
2 − y2) + x2
(1 −
x2 − y2)3/2
=
y
2 − 1
(1 −
x2 − y2)3/2
z
′′
xy
= −x
−
1
(1 −
x2 − y2)
−
3
/2(−2y) = −
xy
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Cvičení.
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte derivace funkce
z(x, y) =
q
1 −
x2 − y2 do řádu dva.
z
′
x
= 1
2
(1 −
x2 − y2)
−
1
/2(−2x) = −
x
p
1 −
x2 − y2
z
′
y
= 1
2
(1 −
x2 − y2)
−
1
/2(−2y) = −
y
p
1 −
x2 − y2
z
′