15.a 16.prednaska z BMA1 - integrace rac. lomených, irac. a goniometrických fcí
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Integrální počet - II. část
(další integrační postupy pro některé typy funkcí)
Jiří Vítovec
15. a 16. přednáška z BMA1 (8. týden semestru)
Přednášky z Matematiky
Určeno studentům FEKT VUT
21. listopadu 2012
Obsah
Integrace racionálních lomených funkcí
Integrace iracionálních funkcí
Integrace goniometrických funkcí
Integrace racionálních lomených funkcí
(i) Každou racionální neryze lomenou funkci R(x ) =
Pn(x)
Qm(x)
, kde
Pn a Qn jsou polynomy stupně n a m, n ≥ m, umíme dělením
převést na součet polynomu a ryze lomené racionální funkce,
tj.
R(x ) =
Pn(x)
Qm(x)
= Sn−m(x) +
Tk (x)
Qm(x)
,
kde Sn−m a Tk jsou polynomy stupně (n − m) a k, kde k < m.
(ii) Dále každou racionální ryze lomenou funkci umíme rozložit na
součet parciálních zlomků.
(iii) K zintegrování libovolné racionální lomené funkce nám stačí
umět počítat následující 4 typy integrálů z parciálních zlomků:
1.
R
A
ax +b dx ,
2.
R
A
(ax +b)n dx , n ∈ N,
3.
R
Bx +C
ax 2+bx +c dx ,
4.
R
Bx +C
(ax 2+bx +c)n dx , n ∈ N,
kde A, B, C , a, b, c jsou reálná čísla a D = b2 − 4ac < 0.
1. a 2. typ řešíme buď substitucí t = ax + b nebo pomocí vzorečků
Z
f 0(x )
f (x )
dx = ln |f (x )|+c
a
Z
f (ax +b) dx =
1
a
F (ax +b)+c.
Příklad (1. typ)
Z
3
2x − 8
dx =
t = 2x − 8
dt = 2 dx
dx =
1
2 dt
=
Z
3
t
·
1
2
dt =
3
2
Z
1
t
dt
=
3
2
ln |t| =
3
2
ln |2x − 8| + c
nebo rychleji
Z
3
2x − 8
dx =
3
2
Z
1
x − 4
dx =
3
2
ln |x − 4| + c.
Příklad (2. typ)
Z
3
(2x − 8)3
dx =
t = 2x − 8
dt = 2 dx
dx =
1
2 dt
=
Z
3
t3
·
1
2
dt =
3
2
Z
1
t3
dt
=
3
2
Z
t
−3 dt =
3
2
·
t−2
−2
=
−3
4t2
=
−3
4(2x − 8)2
+ c
nebo rychleji
Z
3
(2x − 8)3
dx = 3
Z
(2x −8)
−3 dx =
3
2
·
(2x − 8)−2