15.a 16.prednaska z BMA1 - integrace rac. lomených, irac. a goniometrických fcí
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
−2
=
−3
4(2x − 8)2
+c.
3. typ řešíme převedením na součet integrálu typu
R
f 0(x )
f (x ) dx a
integrálu typu
R
D
ax 2+bx +c
dx , kde druhý integrál po doplnění
jmenovatele na čtverec řešíme vzorcem
R
1
x 2+A2
dx =
1
A arctg
x
A + c .
Příklad (3. typ)
Z
3x − 6
x 2 + 2x + 5
dx = 3
Z
x − 2
x 2 + 2x + 5
dx = 3 ·
1
2
Z
2x − 4
x 2 + 2x + 5
dx
=
3
2
Z
2x + 2 − 2 − 4
x 2 + 2x + 5
dx
=
3
2
Z
2x + 2
x 2 + 2x + 5
+
−6
x 2 + 2x + 5
dx
=
3
2
ln|x
2 + 2x + 5| − 9
Z
1
(x + 1)2 + 4
dx
=
3
2
ln(x
2 + 2x + 5) −
9
2
arctg
x + 1
2
+ c.
Poznámka
3. typ, kde ale D = b2 − 4ac ≥ 0, řešíme buď rozložením na součet
dvou parciálních zlomků 1. typu a dointegrováním nebo můžeme
použít i vzorec
Z
1
x 2 − A2
dx =
1
2A
ln
x − A
x + A
+ c.
Příklad
Z
3
2x 2 − 12x + 10
dx =
3
2
Z
dx
x 2 − 6x + 5
=
3
2
Z
dx
(x − 3)2 − 9 + 5
=
3
2
Z
dx
(x − 3)2 − 4
=
3
2
·
1
2 · 2
ln
(x − 3) − 2
(x − 3) + 2
=
3
8
ln
x − 5
x − 1
+ c.
4. typ se řeší přez rekurentní formuli a postupně se převádí na 3.
typ. Postup je celkem komplikovaný, proto se tímto případem
nebudeme zabývat (zájemci si ho mohou nastudovat ve skriptech).
Příklad
Vypočítejte následující integrály z racionálních funkcí:
(i)
R
1
x 3+3x 2+2x
dx ,
(ii)
R
1
x 3+x 2+x
dx ,
(iii)
R
x 2+3x +2
x 2+x +2
dx ,
(iv)
R
x 4−10x 3+36x 2−46x +25
x 3−9x 2+27x −27
dx .
Řešení:
(i)
1
2 ln
x (x +2)
(x +1)2
+ c,
(ii)
1
2 ln
x 2
x 2+x +1
− 1
√
3
arctg
2x +1
√
3
+ c,
(iii) x + ln|x 2 + x + 2| −
2
√
7
arctg
2x +1
√
7
+ c,
(iv)
(x −1)2
2
−
11
(x −3)2
− 8
x −3 + c .
Integrace iracionálních funkcí
Poznámka
Racionální lomenou funkci v proměnných α, β, γ, . . . budeme
značit symbolem R(α, β, γ, . . . ). To znamená, že např. R(x , sin x )
může zahrnovat následující funkce: