15.a 16.prednaska z BMA1 - integrace rac. lomených, irac. a goniometrických fcí
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
x =
a
sin t
nebo
x =
a
cos t
.
I
Je-li integrant typu R(x ,
√
x 2 + a2), pak volíme substituci
x = a tg t
nebo
x = a cotg t.
Příklad
Pomocí goniometrické substituce určete
R
2x 2
√
1−x 2
dx .
[Řešení:
arcsin x − x
√
1 − x 2 + c.]
Příklad
Vypočítejte následující integrály z iracionálních funkcí:
(i)
R
1
x
√
x −4
dx ,
(ii)
R
1−
√
x
1+
√
x
dx ,
(iii)
R
6
√
x +1
6
√
x 7+
4
√
x 5
dx ,
(iv)
R
1
√
x 2+1
dx .
Řešení:
(i) arctg
√
x −4
2
+ c,
(ii) −x + 4
√
x − 4 ln(
√
x + 1) + c,
(iii)
−6
6
√
x
+
12
12
√
x
+ 24 ln
12
√
x
12
√
x +1
+ c,
(iv)
1
2 ln
sin(arctg x )+1
sin(arctg x )−1
+ c.
Integrace goniometrických funkcí
Volba substituce
Nechť je integrant typu R(sin x , cos x ).
(i) Je-li integrant lichá funkce vůči proměnné sin x , tj. platí-li
R(− sin x , cos x ) = −R(sin x , cos x ), pak volíme substituci
t = cos x .
(ii) Je-li integrant lichá funkce vůči proměnné cos x , tj. platí-li
R(sin x , − cos x ) = −R(sin x , cos x ), pak volíme substituci
t = sin x .
(iii) Není-li integrant lichá funkce vůči proměnným sin x nebo
cos x , pak lze volit univerzální substituci
t = tg
x
2
.
Příklad
Z
sin
2 x · cos5 x dx =
t = sin x
dt = cos x dx
=
Z
sin
2 x cos4 x cos x dx
=
Z
sin
2 x(cos2 x)2 cos x dx =
Z
sin
2 x(1 − sin2 x)2 cos x dx
=
Z
t
2(1 − t2)2 dt =
Z
(t
2 − 2t4 + t6) dt =
t3
3
− 2
t5
5
+
t7
7
+ c
=
1
3
sin
3 x −
2
5
sin
5 x +
1
7
sin
7 x + c.
Poznámka
Je-li integrant sudá funkce vůči proměnné sin x a cos x současně,
tj. platí-li R(− sin x , − cos x ) = R(sin x , cos x ), pak lze volit
substituci t = tg x .
Ta ovšem často vede (podobně jako univerzální substituce
t = tg