15.a 16.prednaska z BMA1 - integrace rac. lomených, irac. a goniometrických fcí
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
x 2 − 2 sin3 x
sin2 x
,
2x + sin x ,
sin x − x 4
x 2 − 2 sin3 x
apod.
Volba substituce I
Je-li integrant (integrovatelná funkce) typu R(x ,
n
√
ax + b), n ∈ N,
pak volíme substituci
t
n = ax + b,
t =
n
√
ax + b
.
Tím převedeme integrál na integrál z racionální lomené funkce.
Příklad
Z
2x
3
√
4x − 1
dx =
t3 = 4x − 1
⇒
x =
t3+1
4
3t2dt = 4 dx
⇒
dx =
3
4 t
2dt
=
Z
2 ·
t3+1
4
t
·
3
4
t
2 dt =
2
4
·
3
4
Z
(t3 + 1)t2
t
dt
=
3
8
Z
(t
4 + t) dt =
3
8
t5
5
+
t2
2
=
3
8
1
5
3
√
4x − 1
5
+
1
2
3
√
4x − 1
2
=
3
3
p(4x − 1)5
40
+
3
3
p(4x − 1)2
16
+ c.
Volba substituce II
Je-li integrant typu R(x , n1
√
x , n2
√
x , . . . , nk
√
x ), n1, . . . , nk ∈ N, pak
volíme substituci
t
s = x,
t =
s
√
x
,
kde s je nejmenším společným násobkem čísel n1, . . . , nk . Tím
převedeme integrál z iracionální funkce na integrál z racionální
lomené funkce.
Příklad
Z
5
√
x − 3
√
x
x
dx =
t10 = x
⇒
t = 10
√
x
10t9 dt = dx
=
Z
t10/5 − 3 · t10/2
t10
· 10t9 dt
=
Z
t2
− 3t5
t10
10t
9 dt = 10
Z
(t − 3t
4) dt
= 10
t2
2
− 3
t5
5
= 5
10
√
x 2 − 6
10
√
x 5 = 5
5
√
x − 6
√
x + c.
Poznámka
Než uvedeme substituci III, připomeňme základní goniometrické
vzorce:
I
sin2 x + cos2 x = 1,
I
tg x =
sin x
cos x
,
I
cotg x =
cos x
sin x
,
I
sin 2x = 2 sin x cos x ,
I
cos 2x = cos2 x − sin2 x .
Dále se při některých výpočtech hodí znalost následujících vzorců:
I
sin2 x =
1 − cos 2x
2
a
cos2 x =
1 + cos 2x
2
.
Volba substituce III (goniometrická substituce)
I
Je-li integrant typu R(x ,
√
a2 − x 2), pak volíme substituci
x = a sin t
nebo
x = a cos t.
I
Je-li integrant typu R(x ,
√
x 2 − a2), pak volíme substituci