15.a 16.prednaska z BMA1 - integrace rac. lomených, irac. a goniometrických fcí

x
2 ) na složité úpravy a výpočty integrálů z racionálně lomené

funkce. Proto se v praxi (zvláště pokud jsou v integrantu pouze
součiny či podíly sinů a kosinů v sudých mocninách) používají
nejprve vzorce

sin

2 x =

1 − cos 2x

2

a

cos

2 x =

1 + cos 2x

2

,

které převedou integrant na výraz se siny a kosiny v nižších
(nejlépe lichých) mocninách s násobným argumentem. Poté již lze
zpravidla buď volit jednodušší substituci za sinus či kosinus, nebo
dopočítat integrál přímo - viz následující příklad (ii).

Příklad
Vypočítejte následující integrály z goniometrických funkcí:

(i)

R sin3 x dx,

(ii)

R 8 sin2 x cos2 x dx,

(iii)

R

1

4 sin x −7 cos x −7 dx .

Řešení:

(i)

1
3 cos

3 x − cos x + c,

(ii) x −

1
4 sin 4x + c ,

(iii)

1
4 ln|4 tg

x
2 − 7| + c .

Univerzální substituce t = tg

x
2

sin

x
2 =

t

√

1+t2

,

cos

x
2 =

1

√

1+t2

,

sin x =

2t

1+t2 ,

cos x =

1−t2
1+t2 ,

dx =

2

1+t2 dt .

Odvození:

sin x = sin 2

x
2 = 2 sin

x
2 cos

x
2 = 2

t

√

1+t2

·

1

√

1+t2

=

2t

1+t2 ,

cos x = cos 2

x
2 = cos

2 x

2 − sin

2 x

2 =

1

1+t2 −

t2

1+t2 =

1−t2
1+t2 ,

t = tg

x
2

⇒

dt =

1

cos2

x
2

· 1

2 dx

⇒

dx =

2

1+t2 dt .

Document Outline

• Integrace racionálních lomených funkcí
• Integrace iracionálních funkcí
• Integrace goniometrických funkcí