2.Lokální extrémy-příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
,
z′′
xx
=
2y
2 − 2yx2
(x2 + y)2
,
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2 + y).
Dom
(f ) =
{(x, y) ∈ R
2 : x2 + y > 0}
z′
x
=
2xy
x2 + y
= 0, z′
y
= ln(x2 + y) +
y
x2 + y
= 0
2xy = 0
Případ 1: x = 0
ln y +
y
y
= 0,
ln y =
−1,
y = e−1
S
1
= [0, e−1]
Případ 2: y = 0
ln(x2) = 0
x2 = e0 =
1
x =
±1
S
2
= [1, 0] a S
3
= [−1, 0] .
S
1
= [0, e−1],
S
2
= [1, 0],
S
3
= [−1, 0]
z′′
xx
=
2y(x
2 + y) − 2xy2x
(x2 + y)2
,
z′′
xx
=
2y
2 − 2yx2
(x2 + y)2
,
Díky přitomnosti funkce ln(
·) máme jistá omezení na definiční obor
funkce.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2 + y).
Dom
(f ) =
{(x, y) ∈ R
2 : x2 + y > 0}
z′
x
=
2xy
x2 + y
= 0, z′
y
= ln(x2 + y) +
y
x2 + y
= 0
2xy = 0
Případ 1: x = 0
ln y +
y
y
= 0,
ln y =
−1,
y = e−1
S
1
= [0, e−1]
Případ 2: y = 0
ln(x2) = 0
x2 = e0 =
1
x =
±1
S
2
= [1, 0] a S
3
= [−1, 0] .
S
1
= [0, e−1],
S
2
= [1, 0],
S
3
= [−1, 0]
z′′
xx
=
2y(x
2 + y) − 2xy2x
(x2 + y)2
,
z′′
xx
=
2y
2 − 2yx2
(x2 + y)2
,
Vypočteme parciální derivace. Při derivování podle x použijeme
vzorec pro derivaci konstantního násobku, protože v součinu
y
ln(x
2 + y) považujeme součinitel y za konstantu. Používáme
vzorec pro derivaci složené funkce, protože funkce ln(x2 + y) je
složená s vnitřní složkou (x2 + y).
(y ln(x2 + y))′x = y(ln(x
2
+ y))′
x
= y
1
x2 + y
(2x + 0)
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2 + y).
Dom
(f ) =
{(x, y) ∈ R
2 : x2 + y > 0}
z′
x
=
2xy
x2 + y
= 0, z′
y
= ln(x2 + y) +
y
x2 + y
= 0