2.Lokální extrémy-příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2y
2 − 2yx2
(x2 + y)2
,
Osamostatníme x2 a vyřešíme vzhledem k x.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2 + y).
Dom
(f ) =
{(x, y) ∈ R
2 : x2 + y > 0}
z′
x
=
2xy
x2 + y
= 0, z′
y
= ln(x2 + y) +
y
x2 + y
= 0
2xy = 0
Případ 1: x = 0
ln y +
y
y
= 0,
ln y =
−1,
y = e−1
S
1
= [0, e−1]
Případ 2: y = 0
ln(x2) = 0
x2 = e0 =
1
x =
±1
S
2
= [1, 0] a S
3
= [−1, 0] .
S
1
= [0, e−1],
S
2
= [1, 0],
S
3
= [−1, 0]
z′′
xx
=
2y(x
2 + y) − 2xy2x
(x2 + y)2
,
z′′
xx
=
2y
2 − 2yx2
(x2 + y)2
,
Obdrželi jsme dva stacionární body. Nezapomeneme zkontrolovat,
že skutečně leží v definičním oboru funkce.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2 + y).
z′
x
=
2xy
x2 + y
= 0, z′
y
= ln(x2 + y) +
y
x2 + y
= 0
S
1
= [0, e−1],
S
2
= [1, 0],
S
3
= [−1, 0]
z′′
xx
=
2y(x
2 + y) − 2xy2x
(x2 + y)2
,
z′′
xy
=
2x(x
2 + y) − 2xy
(x2 + y)2
,
z′′
yy
=
1
x2 + y
+
x
2 + y − y
(x2 + y)2
.
z′′
xx
=
2y
2 − 2yx2
(x2 + y)2
,
z′′
xy
=
2x
3
(x2 + y)2
,
z′′
yy
=
1
x2 + y
+
x
2
(x2 + y)2
.
z′′
xx
=
2y
2 − 2yx2
(x2 + y)2
,
z′′
xy
=
2x
3
(x2 + y)2
,
H
(S1) =
2
0
0
e
>
0,
H
(S2) =
0
2
2
2
= −4 < 0,
Toto jsou naše dosavadní mezivýsledky.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2 + y).
z′
x
=
2xy
x2 + y
= 0, z′
y
= ln(x2 + y) +
y
x2 + y
= 0
S
1
= [0, e−1],
S
2
= [1, 0],
S
3
= [−1, 0]
z′′
xx
=
2y(x
2 + y) − 2xy2x
(x2 + y)2
,
z′′
xy
=
2x(x
2 + y) − 2xy
(x2 + y)2
,
z′′
yy
=
1
x2 + y
+
x
2 + y − y
(x2 + y)2
.
z′′
xx
=
2y
2 − 2yx2
(x2 + y)2
,
z′′
xy
=
2x
3
(x2 + y)2
,
z′′
yy
=
1
x2 + y
+
x
2
(x2 + y)2
.
z′′
xx
=
2y
2 − 2yx2