2.Lokální extrémy-příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
0
−4
−4
0
= −16 < 0
H
(S4) =
0
4
4
0
= −16 < 0
H
(S5) =
0
−4
−4
0
= −16 < 0
H
(S5) =
z′′
xx
z′′
xy
z′′
xy
z′′
yy
[x,y]=[−1,−1]
=
0
−4
−4
0
= −16 < 0
V bodě S5 není lokální extrém.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2y2
− x
2 − y2
z′
x
=2x(y2 − 1) = 0;
z′
y
=2y(x2 − 1) = 0
S
1
= [0, 0]; S
2
= [1, 1]; S
3
= [−1, 1]; S
4
= [1, −1]; S
5
= [−1, −1]
z′′
xx
= 2(y2 − 1);
z′′
xy
= 4xy;
z′′
yy
= 2(x2 − 1)
H
(S1) =
−2
0
0
−2
= 4 > 0
H
(S2) =
0
4
4
0
= −16 < 0
H
(S3) =
0
−4
−4
0
= −16 < 0
H
(S4) =
0
4
4
0
= −16 < 0
H
(S5) =
0
−4
−4
0
= −16 < 0
• Jediný lokální extrém je v bodě S1 = [0, 0]. Jedná se o lokální
maximum.
• Ostatní stacionární body jsou sedlové body.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = x2y2
− x
2 − y2
z′
x
=2x(y2 − 1) = 0;
z′
y
=2y(x2 − 1) = 0
S
1
= [0, 0]; S
2
= [1, 1]; S
3
= [−1, 1]; S
4
= [1, −1]; S
5
= [−1, −1]
z′′
xx
= 2(y2 − 1);
z′′
xy
= 4xy;
z′′
yy
= 2(x2 − 1)
H
(S1) =
−2
0
0
−2
= 4 > 0
H
(S2) =
0
4
4
0
= −16 < 0
H
(S3) =
0
−4
−4
0
= −16 < 0
H
(S4) =
0
4
4
0
= −16 < 0
H
(S5) =
0
−4
−4
0
= −16 < 0
Hotovo!
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
c
Robert Mařík, 2009 ×
Najděte lokální extrémy funkce z = y ln(x2 + y).
Dom
(f ) =
{(x, y) ∈ R
2 : x2 + y > 0}
z′
x
=
2xy
x2 + y
= 0, z′
y
= ln(x2 + y) +
y
x2 + y
= 0
2xy = 0
Případ 1: x = 0
ln y +
y
y
= 0,
ln y =
−1,
y = e−1
S
1
= [0, e−1]
Případ 2: y = 0
ln(x2) = 0
x2 = e0 =
1
x =
±1
S
2
= [1, 0] a S
3
= [−1, 0] .
S
1
= [0, e−1],
S
2
= [1, 0],
S
3
= [−1, 0]
z′′
xx
=
2y(x
2 + y) − 2xy2x
(x2 + y)2