13.a 14.prednaska z BMA1 - neurčitý integrál, Per Partes, substituce

Integrální počet - I. část

(neurčitý integrál a základní integrační metody)

Jiří Vítovec

13. a 14. přednáška z BMA1 (7. týden semestru)

Přednášky z Matematiky

Určeno studentům FEKT VUT

21. listopadu 2012

Obsah

Neurčitý integrál

Integrace metodou per partes

Substituční metoda integrace

Neurčitý integrál

Definice (Primitívní funkce)

Nechť f : I → R je funkce definovaná na intervalu I . Pokud platí

F

0(x) = f (x)

∀x ∈ I ,

pak funkci F nazveme primitivní funkcí k funkci f na intervalu I .

Definice (Neurčitý integrál)

Množinu všech primitívních funkcí {F (x ) + c} k funkci f na
intervalu I nazveme neurčitým integrálem funkce f na I a píšeme

Z

f (x ) dx = F (x ) + c,

kde c ∈ R je tzv. integrační konstanta. Existuje-li neurčitý
integrál funkce f na I , pak říkáme, že f je integrovatelná na I .

Věta (Jednoznačnost)

Primitivní funkce je určena jednoznačně až na integrační konstantu.

Věta (O spojitosti integrovatelné funkce)

Je-li funkce f spojitá v intervalu I , pak je zde integrovatelná.

Poznámka

I

Primitivní funkce F (výsledek po integraci) je vždy spojitá
funkce, neboť k ní existuje derivace (F je diferencovatelná).

I

Z definice je vidět, že integrál je jako by

”

antiderivace“, tj.

integrováním získáme ze známé derivace zpět původní funkci.

I

Základní vzorce pro integrování elementárních funkcí jsou
odvozeny ze vzorců pro derivace, jen čteno zprava doleva.

Příklad
Protože platí

x

20 = 2x,

je funkce x 2 primitvní funkcí k funkci 2x .

Podobně ale také

x

2 + 4

0

= 2x

a

x

2 − 8

0

= 2x .

Tedy x 2 + c je primitvní funkcí k funkci 2x pro libovolné c ∈ R a

Z

2x dx = x

2 + c.

Základní vzorce na integrovaní

Nechť A, B, a, b, c, k, n ∈ R, A > 0, a 6= 0 a n 6= −1. Potom