13.a 14.prednaska z BMA1 - neurčitý integrál, Per Partes, substituce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Z
sin(2x + 1) dx =
x =
t−1
2
dx =
1
2 dt
=
Z
sin
2 ·
t − 1
2
+ 1
·
1
2
dt =
1
2
Z
sin t dt
= −
1
2
cos t + c =
x =
t−1
2
t = 2x + 1
= −
1
2
cos(2x + 1) + c.
V tomto případě šlo snadněji použít substituční metodu I:
Z
sin(2x + 1) dx =
t = 2x + 1
dt = 2 dx
dx =
1
2 dt
=
Z
sin t ·
1
2
dt = −
1
2
cos t + c = −
1
2
cos(2x + 1) + c.
Důsledek
Je-li F primitivní funkce k funkci f , pak lze substitucí t = ax + b
snadno odvodit (nám již známý) vztah
Z
f (ax + b) dx =
1
a
F (ax + b) + c.
Důsledek
Substitucí t = f (x ) lze snadno odvodit (nám již známý) vztah
Z
f 0(x )
f (x )
dx = ln |f (x )| + c.
Příklad
Integrujte pomocí subsituce
(i)
R
3
√
2−8x
dx ,
(ii)
R
2x 2
cos2(x 3+1)
dx ,
(iii)
R ecos
2 x sin 2x dx,
(iv)
R
ln(arctg x )
(1+x 2) arctg x
dx ,
(v)
R 2
√
1 − x 2 dx (použij metodu II a substituci x = sin t).
Řešení:
(i) −
3
4
√
2 − 8x + c,
(ii)
2
3 tg(x
3 + 1) + c,
(iii) −ecos
2 x + c,
(iv)
1
2 [ln(arctg x )]
2 + c,
(v) arcsin x + x
√
1 − x 2 + c.
Document Outline
- Neurcitý integrál
- Integrace metodou per partes
- Substitucní metoda integrace