13.a 14.prednaska z BMA1 - neurčitý integrál, Per Partes, substituce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
(ii)
R (3x − 5)3 dx,
(iii)
R
4
sin2(5 − 2x )
dx .
Z
f (ax + b) dx =
1
a
F (ax + b) + c
Řešení:
(i) sin(x + 6) +
1
2 cos(2x ) + e
−x + c,
(ii)
1
12 (3x − 5)
4 + c,
(iii) 2 cotg(5 − 2x ) + c.
Příklad
Integrujte:
(i)
R
ex + 1
ex + x + 5
dx ,
(ii)
R
x
2x 2 − 8
dx ,
(iii)
R (cotg x + tg x) dx.
Z
f 0(x )
f (x )
dx = ln |f (x )| + c
Řešení:
(i) ln |ex + x + 5| + c,
(ii)
1
4 ln |2x
2 − 8| + c,
(iii) ln |sin x | − ln |cos x | + c.
Příklad
S použitím vzorce
Z
1
x 2 + A2
dx =
1
A
arctg
x
A
+ c
spočítejte integrál
Z
1
9x 2 + 16
dx .
Řešení:
Z
1
9x 2 + 16
dx =
Z
1
(3x )2 + 42
dx
=
1
3
·
1
4
· arctg
3x
4
+ c =
1
12
arctg
3x
4
+ c.
Příklad
S použitím vzorce
Z
1
x 2 − A2
dx =
1
2A
ln
x − A
x + A
+ c
spočítejte integrál
Z
3
16 − 9x 2
dx .
Řešení:
Z
3
16 − 9x 2
dx = −3
Z
1
9x 2 − 16
dx = −3
Z
1
(3x )2 − 42
dx
= −3 ·
1
3
·
1
2 · 4
· ln
3x − 4
3x + 4
+ c = −
1
8
ln
3x − 4
3x + 4
+ c.
Příklad
S použitím vzorce
Z
1
√
A2 − x 2
dx = arcsin
x
A
+ c
spočítejte integrál
Z
−7
√
16 − 3x 2
dx .
Řešení:
Z
−7
√
16 − 3x 2
dx = −7
Z
1
q
42 − (
√
3x )2
dx
= −7
1
√
3
arcsin
√
3x
4
+ c =
−7
√
3
3
arcsin
√
3x
4
+ c.
Příklad
S použitím vzorce
Z
1
√
x 2 ± B
dx = ln |x +
p
x 2 ± B| + c
spočítejte integrál
Z
2
√
4x 2 − 3
dx .
Řešení:
Z
2
√
4x 2 − 3
dx = 2
Z
1
p(2x)2 − 3
dx
= 2
1
2
ln |2x +
p
4x 2 − 3| + c = ln |2x +
p
4x 2 − 3| + c.
Integrace metodou per partes
Metoda per partes (po částech) částečně nahrazuje chybějící
pravidlo pro integraci součinu. Používáme ji při integraci součinu
dvou
”
nesourodých“ funkcí. Nejčastěji se jedná o součin polynomu
P(x) a jiné elementární funkce, tj. např. (pro libovolné a, b ∈ R):