13.a 14.prednaska z BMA1 - neurčitý integrál, Per Partes, substituce

Řešení:

(i) ex x 2 − 2x + 2

 + c,

(ii) x ln(2x + 4) − x + 2 ln(x + 2) + c,

(iii) x arctg 2x −

1
4 ln (1 + 4x

2) + c,

(iv)

1
2 e

x (sin x + cos x).

Substituční metoda integrace

Substituční metoda se používá pro výpočet některých integrálů ze
složených funkcí a také pro výpočet některých integrálů ze součinu
či podílu funkcí.

Věta (Substituční metoda I)

Nechť f (t) je funkce spojitá na intervalu I , nechť má funkce ϕ(x )
derivaci na intervalu J a nechť platí ϕ(J) = I . Potom na J platí

Z

f (ϕ(x )) · ϕ

0(x) dx =

Z

f (t) dt,

použijeme-li substituci t = ϕ(x ).

Poznámka
Za novou proměnnou t volíme vnitřní složku složené funkce
f (ϕ(x )), tedy t = ϕ(x ). Odtud diferenciací dostáváme
dt = ϕ0(x ) dx (porovnejte se vzorcem ve znění věty).

Příklad

Z

sin(ln x ) ·

1

x

dx =

t = ln x

dt =

1
x dx

=

Z

sin t dt = − cos t + c = − cos(ln x ) + c.

Věta (Substituční metoda II)

Nechť f (x ) je funkce spojitá na intervalu I , nechť má funkce ϕ(t)
na intervalu J nenulovou derivaci a nechť platí ϕ(J) = I . Potom na
J platí

Z

f (x ) dx =

Z

f (ϕ(t))ϕ

0(t) dt,

použijeme-li substituci x = ϕ(t). Nová proměnná t tedy splňuje
vztah t = ϕ−1(x ), kde ϕ−1(x ) je funkce inverzní k funkci ϕ(x ).

Poznámka

I

Přestože pravá strana vztahu po substituci vypadá složitěji
než levá strana, vhodnou volbou substituce dodjde často
naopak k výraznému zjednodušení.

I

Porovnáme-li obě uvedené substituční metody, zjistíme, že jde
o jediný vztah, který lze využít zprava doleva, nebo naopak.
U konkrétních příkladů častěji využijeme substituční metodu I.

Příklad
Přímé použití věty se substituční metodou II: