13.a 14.prednaska z BMA1 - neurčitý integrál, Per Partes, substituce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1.
R k dx = kx + c,
2.
R xn dx = x
n+1
n+1 + c ,
3.
R
1
x dx = ln |x | + c ,
4.
R ex dx = ex +c,
5.
R ax dx = a
x
ln a + c
a > 0
a 6= 1
,
6.
R sin x dx = − cos x + c,
7.
R cos x dx = sin x + c,
8.
R
1
cos2 x
dx = tg x + c,
9.
R
1
sin2 x
dx = − cotg x + c,
10.
R
1
x 2+A2
dx =
1
A arctg
x
A + c ,
11.
R
1
x 2−A2
dx =
1
2A ln
x −A
x +A
+ c,
12.
R
1
√
A2−x 2
dx = arcsin
x
A + c ,
13.
R
1
√
x 2±B
dx = ln |x +
√
x 2 ± B| + c,
14.
R
f 0(x )
f (x ) dx = ln |f (x )| + c ,
15.
R f (x) dx = F (x) + c
⇒
R f (ax + b) dx = 1
a F (ax + b) + c .
Věta (Linearita)
Nechť f a g jsou integrovatelné funkce na intervalu I a nechť a, b
jsou reálná čísla. Pak na intervalu I platí
Z
[af (x ) ± bg (x )] dx = a
Z
f (x ) dx ± b
Z
g (x ) dx .
Poznámka
Při derivování šlo o správné použití vzorců a jejich znalost.
Integrace je často mnohem obtížnější. Zejména proto, že neexistují
univerzní vzorce pro integrál součinu, podílu a složené funkce.
Příklad
Z
3x
3 − sin x + 5
√
x
dx = 3
Z
x
3 dx −
Z
sin x dx +
Z
x
1/5 dx
= 3
x 4
4
+ c1 + cos x + c2 +
x 6/5
6/5
+ c3
=
3
4
x
4 + cos x +
5
6
5
√
x 6 + c.
Příklad
Spočtěte integrály:
(i)
R
6x 2 −
4
√
x
+
2
x
dx ,
(ii)
R
3
√
x 2 (x 2 + 1) dx ,
(iii)
R
2x 3 + 4x − 8
x 2
dx ,
(iv)
R
2x 3 − 3x 2 + 1
x − 3
dx .
Řešení:
(i) 2x 3 − 8
√
x + 2 ln |x | + c,
(ii)
3
11
3
√
x 11 +
3
5
3
√
x 5 + c,
(iii) x 2 + 4 ln |x | +
8
x + c ,
(iv)
2
3 x
3 + 3
2 x
2 + 9x + 28 ln |x − 3| + c.
Příklad
Integrujte:
(i)
R [cos(x + 6) − sin 2x − e−x ] dx,