13.a 14.prednaska z BMA1 - neurčitý integrál, Per Partes, substituce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Z
P(x )e
ax dx,
Z
P(x ) sin(ax ) dx ,
Z
P(x ) arctg x dx ,
Z
e
ax cos(bx) dx.
Věta (Metoda per partes)
Nechť funkce u a v jsou diferencovatelné na intervalu I . Pak na I
platí
Z
u(x )v
0(x) dx = u(x)v(x) −
Z
u
0(x)v(x) dx,
jestliže integrály na pravé straně rovnosti existují.
Poznámka
I
Jako funkci u (tedy tu, kterou derivujeme), volíme zpravidla
takovou funkci, která se při derivování
”
vylepší“.
I
Nechť Pn(x) je polynom stupně n, a ∈ R a integrujeme součin
Z
Pn(x)f (x) dx.
(i) Je-li f (x ) funkce eax , sin(ax ), cos(ax ), pak volíme u = Pn(x).
(ii) Je-li f (x ) funkce ln x , arcsin x , arccos x , arctg x , arccotg x , pak
volíme u = f (x ) a to i v případě, že Pn(x) = 1.
I
Metodu per partes lze i použít opakovaně. V případě (i) je
nutné ji použít dokonce n krát.
Příklad
Z
x sin x dx =
u = x
u0 = 1
v 0 = sin x
v = − cos x
= x · (− cos x ) −
Z
1 · (− cos x ) dx = −x cos x +
Z
cos x dx
= −x cos x + sin x + c.
Poznámka
Zkoušku provedeme zderivováním výsledku.
Příklad
Z
3x
2 ln2 x dx =
u = ln
2 x u0 = 2 ln x · 1
x
v 0 = 3x 2
v = x 3
= x
3 ln2 x −
Z
2 · ln x ·
1
x
· x3 dx
= x
3 · ln2 x − 2
Z
x
2 ln x dx =
u = ln x
u0 =
1
x
v 0 = x 2
v =
x 3
3
= x
3 · ln2 x − 2
ln x ·
x 3
3
−
Z
x 3
3
·
1
x
dx
= x
3 · ln2 x − 2
x 3
3
ln x +
2
3
Z
x
2 dx
= x
3 · ln2 x −
2
3
x
3 ln x +
2
3
·
x 3
3
+ c
= x
3 · ln2 x −
2
3
x
3 ln x +
2
9
x
3 + c.
Příklad
Pomocí metody per partes integrujte
(i)
R x2 ex dx,
(ii)
R ln (2x + 4) dx,
(iii)
R arctg 2x dx,
(iv)
R ex cos x dx.