21.a 22.prednaska z BMA1 - nevlastní intergál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Z
∞
−∞
f (x ) dx =
Z
c
−∞
f (x ) dx +
Z
∞
c
f (x ) dx
nazýváme nevlastní integrál funkce f na intervalu (−∞, ∞).
(i) Konvergují-li oba nevlastní integrály na pravé straně předchozí
rovnosti, potom říkáme, že integrál
R
∞
−∞ f (x ) dx konverguje
a je roven jejich součtu.
(ii) Diverguje-li alespoň jeden nevlastní integrál na pravé straně
předchozí rovnosti, potom říkáme, že
R
∞
−∞ f (x ) dx diverguje.
Poznámka
Na volbě konstanty c, tj. jak rozdělíme integrál
R
∞
−∞ f (x ) dx ,
nezáleží a neovlivní to jeho výsledek. Nejčastěji volíme c = 0.
Příklad
(i)
Z
∞
1
dx
(x + 3)2
= lim
t→∞
Z
t
1
1
(x + 3)2
dx = lim
t→∞
(x + 3)−1
−1
t
1
= lim
t→∞
−1
x + 3
t
1
= lim
t→∞
−1
t + 3
−
−1
1 + 3
=
1
4
(ii)
Z
∞
−∞
dx
x 2 + 1
=
Z
0
−∞
1
x 2 + 1
dx +
Z
∞
0
1
x 2 + 1
dx
= lim
t→−∞
Z
0
t
1
x 2 + 1
dx + lim
t→∞
Z
t
0
1
x 2 + 1
dx
= lim
t→−∞
[arctg x ]
0
t + lim
t→∞
[arctg x ]
t
0
= − lim
t→−∞
(arctg t) + lim
t→∞
(arctg t) =
π
2
+
π
2
= π
Nevlastní integrál vzhledem k funkci
Definice 1 (Nevlastní integrál na ha, bi se singularitou v a)
Nechť f je funkce definovaná na intervalu (a, bi a v pravém okolí
bodu a je neohraničená. Nechť f je Riemannovsky integrovatelná v
intervalu ht, bi pro každé t ∈ (a, b). Potom výraz
L =
Z
b
a
f (x ) dx = lim
t→a+
Z
b
t
f (x ) dx
nazýváme nevlastní integrál funkce f na intervalu ha, bi se
singularitou v bodě a.
(i) Existuje-li vlastní limita předchozího výrazu, tj. L ∈ R, potom
říkáme, že integrál
R
b
−∞ f (x ) dx konverguje a je roven číslu L.
(ii) Neexistuje-li vlastní limita předchozího výrazu, tj. L = ±∞
nebo limita neexistuje, potom říkáme, že integrál
R
b
−∞ f (x ) dx