21.a 22.prednaska z BMA1 - nevlastní intergál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
diverguje.
Definice 2 (Nevlastní integrál na ha, bi se singularitou v b)
Nechť f je funkce definovaná na intervalu ha, b) a v levém okolí
bodu b je neohraničená. Nechť f je Riemannovsky integrovatelná v
intervalu ha, ti pro každé t ∈ (a, b). Potom výraz
L =
Z
b
a
f (x ) dx = lim
t→b−
Z
t
a
f (x ) dx
nazýváme nevlastní integrál funkce f na intervalu ha, bi se
singularitou v bodě b.
(i) Existuje-li vlastní limita předchozího výrazu, tj. L ∈ R, potom
říkáme, že integrál
R
b
−∞ f (x ) dx konverguje a je roven číslu L.
(ii) Neexistuje-li vlastní limita předchozího výrazu, tj. L = ±∞
nebo limita neexistuje, potom říkáme, že integrál
R
b
−∞ f (x ) dx
diverguje.
Definice 3 (Nevlastní integrál na ha, bi se singularitou v c)
Nechť f je funkce definovaná na intervalu ha, bi s výjimkou bodu
c, a < c < b, v jehož okolí je neohraničená. Nechť f je
Riemannovsky integrovatelná v intervalu ha, si ∪ ht, bi pro každé
s ∈ (a, c) a t ∈ (c, b). Potom výraz
Z
b
a
f (x ) dx =
Z
c
a
f (x ) dx +
Z
b
c
f (x ) dx
nazýváme nevlastní integrál funkce f na intervalu ha, bi se
singularitou v bodě c.
(i) Konvergují-li oba nevlastní integrály na pravé straně předchozí
rovnosti, potom říkáme, že integrál
R
b
a f (x ) dx konverguje a
je roven jejich součtu.
(ii) Diverguje-li alespoň jeden nevlastní integrál na pravé straně
předchozí rovnosti, potom říkáme, že
R
b
a f (x ) dx diverguje.
Příklad
(i)
Z
1
0
ln x dx = lim
t→0+
Z
1
t
ln x dx
per
partes
= . . . = lim
t→0+
[x (ln x − 1)]
1
t
= −1 − lim
t→0+
ln t − 1
1
t
L’Hospital.
pravidlo
= . . . = −1 − 0 = −1
(ii)
Z
9
0
dx
3
√
x − 1
=
Z
1
0
1
3
√
x − 1
dx +
Z
9
1