21.a 22.prednaska z BMA1 - nevlastní intergál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1
3
√
x − 1
dx
= lim
t→1−
Z
t
0
(x − 1)
− 1
3
dx + lim
t→1+
Z
9
t
(x − 1)
− 1
3
dx
= lim
t→1−
3
2
(x − 1)
2
3
t
0
+ lim
t→1+
3
2
(x − 1)
2
3
9
t
=
3
2
lim
t→1−
3
q
(t − 1)2 − 1 + 4 − lim
t→1+
3
q
(t − 1)2
=
9
2
Obecná definice nevlastního integrálu
Definice (Obecná definice nevlastního integrálu na ha, bi)
Nechť f je definovaná na ha, bi, kde a může být −∞ a b může být
∞, až na konečně mnoho bodů, v jejichž okolí je neohraničená.
Nechť existují čísla c1 < c2 < · · · < cn z (a, b) tak, že integrály
Z
c1
a
f (x ) dx ,
Z
c2
c1
f (x ) dx , . . . ,
Z
b
cn
f (x ) dx
(1)
mají singularitu pouze v jedné mezi. Potom výraz
Z
b
a
f (x ) dx =
Z
c1
a
f (x ) dx +
Z
c2
c1
f (x ) dx + · · · +
Z
b
cn
f (x ) dx
nazýváme nevlastní integrál funkce f na intervalu ha, bi.
(i) Konvergují-li všechny nevlastní integrály v (1), potom říkáme,
že integrál
R
b
a f (x ) dx konverguje a je roven jejich součtu.
(ii) Diverguje-li alespoň jeden nevlastní integrál v (1), potom
říkáme, že
R
b
a f (x ) dx diverguje.
Příklad
Určete následující nevlastní integrály:
(i)
R
∞
2
1
x ln x dx ,
(ii)
R
∞
1
1
x k
dx , kde k ∈ R,
(iii)
R
1
−1
1
√
1−x 2
dx ,
(iv)
R
∞
0
xe−x
2
dx ,
(v)
R
∞
1
1
x (x 2+1)
dx ,
(vi)
R
∞
−∞
1
e−x +ex dx .
Řešení:
(i) diverguje,
(ii) pro k ≤ 1 integrál diverguje, pro k > 1 je integrál roven
1
k−1 ,
(iii) π,
(iv)
1
2 ,
(v)
1
2 ln 2,
(vi)
π
2 .
Document Outline
- Nevlastní integrál vzhledem k mezi
- Nevlastní integrál vzhledem k funkci
- Obecná definice nevlastního integrálu