3.Nevlastní integrál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2
eu
= 2 − 0 = 2
Nyní dostáváme lim
u→∞
2
eu
= 2
e∞
= 2
∞
= 0.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
I =
Z
∞
0
x2e−x dx.
I = lim
u→∞
Z
u
0
x2e−x dx
Z
x2e−x dx = −x
2e−x + 2
Z
xe−x dx = −x
2e−x + 2
−xe−
x +
Z
e−x dx
= −x2e−x + 2 −xe−x − e−x = −e−x(x2 + 2x + 2)
Z
u
0
x2e−x dx =
−e−
x(x2 + 2x + 2)
u
0
= −e−u(u2 + 2u + 2) − [−e0(0 + 0 + 2)] = −e−u(u2 + 2u + 2) + 2
I = 2 − lim
u→∞
e−u(u2 + 2u + 2) = 2 − lim
u→∞
u
2 + 2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
eu
= 2 − 0 = 2
Hotovo, integrál konveruje a jeho hodnota je 2.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Find
I =
Z
∞
1
arctg
x
x2 + 1
d
x
I = lim
u→∞
Z
u
1
arctg
x
x2 + 1
d
x
Z
arctg
x
x2 + 1
d
x
arctg
x = t
1
x2 + 1
d
x = dt
=
Z
t dt =
t
2
2
=
arctg
2 x
2
Z
u
1
arctg
x
x2 + 1
d
x =
"
arctg
2 x
2
#u
1
=
arctg
2 u
2
−
arctg
2 1
2
=
arctg
2 u
2
−
(
π/4)
2
2
=
arctg
2 u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2 u
2
−
π
2
32
=
(
π/2)
2
2
−
π
2
32
= π
2
8
−
π
2
32
= 3π
2
32
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Find
I =
Z
∞
1
arctg
x
x2 + 1
d
x
I = lim
u→∞
Z
u
1
arctg
x
x2 + 1
d
x
Z
arctg
x
x2 + 1
d
x
arctg
x = t
1
x2 + 1
d
x = dt
=
Z
t dt =
t
2
2
=
arctg
2 x
2
Z
u
1
arctg
x
x2 + 1
d
x =
"
arctg
2 x
2
#u
1
=
arctg
2 u
2
−
arctg
2 1
2
=
arctg
2 u
2
−
(
π/4)
2
2
=
arctg
2 u
2
−
π
2
32
I = lim
u→∞
arctg
2 u
2
−
π
2
32
=
(
π/2)
2
2
−
π
2
32
= π
2
8
−
π
2
32
= 3π
2
32
We start with the definition of the improper integral.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Find
I =
Z
∞
1
arctg
x
x2 + 1
d
x
I = lim
u→∞
Z
u
1
arctg
x
x2 + 1
d
x
Z
arctg
x
x2 + 1
d
x
arctg
x = t
1
x2 + 1
d
x = dt
=
Z
t dt =
t
2
2
=
arctg
2 x
2
Z
u
1
arctg
x
x2 + 1
d
x =
"
arctg
2 x
2
#u
1
=
arctg
2 u
2
−
arctg