3.Nevlastní integrál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2
−
−
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2 + 1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u
2 = 1
2
−
1
2
e−∞ =
1
2
Nevlastní integrál je (podle definice) limitou určitého integrálu.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
I =
Z
∞
0
xe−x
2
d
x
I = lim
u→∞
Z
u
0
xe−x
2
d
x
Z
xe−x
2
d
x
−x
2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
d
t
= −
1
2
Z
et dt = −
1
2
et =
1
2
e−x
2
Z
u
0
xe−x
2
d
x =
−
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
−
−
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2 + 1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u
2 = 1
2
−
1
2
e−∞ =
1
2
∞
2
= ∞ (při počítání s limitami)
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
I =
Z
∞
0
xe−x
2
d
x
I = lim
u→∞
Z
u
0
xe−x
2
d
x
Z
xe−x
2
d
x
−x
2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
d
t
= −
1
2
Z
et dt = −
1
2
et =
1
2
e−x
2
Z
u
0
xe−x
2
d
x =
−
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
−
−
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2 + 1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u
2 = 1
2
−
1
2
e−∞ =
1
2
e−∞ = 0 (při počítání s limitami)
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
I =
Z
∞
0
xe−x
2
d
x
I = lim
u→∞
Z
u
0
xe−x
2
d
x
Z
xe−x
2
d
x
−x
2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
d
t
= −
1
2
Z
et dt = −
1
2
et =
1
2
e−x
2
Z
u
0
xe−x
2
d
x =
−
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
−
−
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2 + 1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u
2 = 1
2
−
1
2
e−∞ =
1
2
Vyřešeno.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
I =
Z
∞
0
x2e−x dx.
I = lim
u→∞
Z
u
0
x2e−x dx
Z
x2e−x dx = −x
2e−x + 2
Z
xe−x dx = −x
2e−x + 2
−xe−
x +
Z
e−x dx
= −x2e−x + 2 −xe−x − e−x = −e−x(x2 + 2x + 2)
Z
u
0
x2e−x dx =
−e−
x(x2 + 2x + 2)
u
0
= −e−u(u2 + 2u + 2) − [−e0(0 + 0 + 2)] = −e−u(u2 + 2u + 2) + 2
I = 2 − lim
u→∞
e−u(u2 + 2u + 2) = 2 − lim
u→∞
u
2 + 2u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
u + 2
eu
= 2 − lim
u→∞
2
eu
= 2 − 0 = 2