3.Nevlastní integrál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
u
1
1
x
√
x + 1
d
x =
"
ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
#u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2
− 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2
− 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2
− 1
+ ln
lim
u→∞
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
!
= ln
√
2 + 1
√
2
− 1
+ ln
lim
u→∞
(
√
u + 1)′
(
√
u + 1)′
!
= ln
√
2 + 1
√
2
− 1
+ ln 1 = ln
√
2 + 1
√
2
− 1
Vnitřní složka je neurčitý výraz typu
∞
∞
a lze použít l’Hospitalovo pravidlo.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
Z
∞
1
1
x
√
x + 1
d
x.
I = lim
u→∞
Z
u
1
1
x
√
x + 1
d
x
Z
1
x
√
x + 1
d
x = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
Z
u
1
1
x
√
x + 1
d
x =
"
ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
#u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2
− 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2
− 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2
− 1
+ ln
lim
u→∞
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
!
= ln
√
2 + 1
√
2
− 1
+ ln
lim
u→∞
(
√
u + 1)′
(
√
u + 1)′
!
= ln
√
2 + 1
√
2
− 1
+ ln 1 = ln
√
2 + 1
√
2
− 1
Čitatel a jmenovatel se zkrátí.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
Z
∞
1
1
x
√
x + 1
d
x.
I = lim
u→∞
Z
u
1
1
x
√
x + 1
d
x
Z
1
x
√
x + 1
d
x = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
Z
u
1
1
x
√
x + 1
d
x =
"
ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
#u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2
− 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2
− 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2
− 1
+ ln
lim
u→∞
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
!
= ln
√
2 + 1
√
2
− 1
+ ln