3.Nevlastní integrál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u
2 = 1
2
−
1
2
e−∞ =
1
2
Nejdříve vypočteme neurčitý integrál.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
I =
Z
∞
0
xe−x
2
d
x
I = lim
u→∞
Z
u
0
xe−x
2
d
x
Z
xe−x
2
d
x
−x
2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
d
t
= −
1
2
Z
et dt = −
1
2
et =
1
2
e−x
2
Z
u
0
xe−x
2
d
x =
−
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
−
−
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2 + 1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u
2 = 1
2
−
1
2
e−∞ =
1
2
Složená funkce “volá” po substituci (
−x
2).
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
I =
Z
∞
0
xe−x
2
d
x
I = lim
u→∞
Z
u
0
xe−x
2
d
x
Z
xe−x
2
d
x
−x
2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
d
t
= −
1
2
Z
et dt = −
1
2
et =
1
2
e−x
2
Z
u
0
xe−x
2
d
x =
−
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
−
−
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2 + 1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u
2 = 1
2
−
1
2
e−∞ =
1
2
Nalezneme vztah mezi diferenciály. Všimněme si, že diferenciál nalevo vychází
x dx, což v integrálu přesně potřebujeme.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
I =
Z
∞
0
xe−x
2
d
x
I = lim
u→∞
Z
u
0
xe−x
2
d
x
Z
xe−x
2
d
x
−x
2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
d
t
= −
1
2
Z
et dt = −
1
2
et =
1
2
e−x
2
Z
u
0
xe−x
2
d
x =
−
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
−
−
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2 + 1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u
2 = 1
2
−
1
2
e−∞ =
1
2
Dosadíme substituci.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
I =
Z
∞
0
xe−x
2
d
x
I = lim
u→∞
Z
u
0
xe−x
2
d
x
Z
xe−x
2
d
x
−x
2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
d
t
= −
1
2
Z
et dt = −
1
2
et =
1
2
e−x
2
Z
u
0
xe−x
2
d
x =
−
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
−
−
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2 + 1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u
2 = 1
2
−
1
2
e−∞ =
1
2
Vypočteme integrál.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
I =
Z
∞
0
xe−x
2
d
x
I = lim
u→∞
Z
u
0
xe−x
2
d
x
Z
xe−x
2
d
x
−x
2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
d
t
= −
1
2
Z
et dt = −
1
2
et =
1
2
e−x
2
Z
u
0
xe−x
2
d
x =