3.Nevlastní integrál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
lim
u→∞
(
√
u + 1)′
(
√
u + 1)′
!
= ln
√
2 + 1
√
2
− 1
+ ln 1 = ln
√
2 + 1
√
2
− 1
ln 1 = 0
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
Z
∞
1
1
x
√
x + 1
d
x.
I = lim
u→∞
Z
u
1
1
x
√
x + 1
d
x
Z
1
x
√
x + 1
d
x = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
Z
u
1
1
x
√
x + 1
d
x =
"
ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
#u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2
− 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2
− 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
= ln
√
2 + 1
√
2
− 1
+ ln
lim
u→∞
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
!
= ln
√
2 + 1
√
2
− 1
+ ln
lim
u→∞
(
√
u + 1)′
(
√
u + 1)′
!
= ln
√
2 + 1
√
2
− 1
+ ln 1 = ln
√
2 + 1
√
2
− 1
Problém je vyřešen, integrál konverguje.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
I =
Z
∞
0
xe−x
2
d
x
I = lim
u→∞
Z
u
0
xe−x
2
d
x
Z
xe−x
2
d
x
−x
2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
d
t
= −
1
2
Z
et dt = −
1
2
et =
1
2
e−x
2
Z
u
0
xe−x
2
d
x =
−
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
−
−
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2 + 1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u
2 = 1
2
−
1
2
e−∞ =
1
2
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
I =
Z
∞
0
xe−x
2
d
x
I = lim
u→∞
Z
u
0
xe−x
2
d
x
Z
xe−x
2
d
x
−x
2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
d
t
= −
1
2
Z
et dt = −
1
2
et =
1
2
e−x
2
Z
u
0
xe−x
2
d
x =
−
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
−
−
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2 + 1
2
I =
1
2
− lim
u→∞
1
2
e−u
2 = 1
2
−
1
2
e−∞ =
1
2
Použijeme definici nevlastního integrálu. Singulárním bodem je +
∞.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
I =
Z
∞
0
xe−x
2
d
x
I = lim
u→∞
Z
u
0
xe−x
2
d
x
Z
xe−x
2
d
x
−x
2
= t
−2x dx = dt
x dx = −
1
2
d
t
= −
1
2
Z
et dt = −
1
2
et =
1
2
e−x
2
Z
u
0
xe−x
2
d
x =
−
1
2
e−x
2
u
0
= −
1
2
e−u
2
−
−
1
2
e0
= −
1
2
e−u
2 + 1