3.Nevlastní integrál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
d
x.
Rozepíšeme
I = lim
u→∞
Z
u
2
1
x ln x
d
x.
Neurčitý integrál splňuje
Z
1
x ln x
d
x =
Z
1
x
ln
x
d
x = ln | ln x|
a proto
I =
Z
∞
2
1
x ln x
d
x = lim
u→∞
Z
u
2
1
x ln x
d
x = lim
u→∞
h
ln
| ln u| − ln | ln 2|
i
= ∞
a nevlastní integrál tedy diverguje.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
Z
∞
1
1
x
√
x + 1
d
x.
I = lim
u→∞
Z
u
1
1
x
√
x + 1
d
x
Z
1
x
√
x + 1
d
x = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
Z
1
x
√
x + 1
d
x
x + 1 = t2
x = t2 − 1
d
x = 2t dt
=
Z
1
(
t2 − 1)t
2
t dt =
Z
2
t2 − 1
d
t = ln
t − 1
t + 1
= ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
Z
u
1
1
x
√
x + 1
d
x =
"
ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
#u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2
− 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2
− 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
√
√
!
√
√
!
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
Z
∞
1
1
x
√
x + 1
d
x.
I = lim
u→∞
Z
u
1
1
x
√
x + 1
d
x
Z
1
x
√
x + 1
d
x = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
Z
1
x
√
x + 1
d
x
x + 1 = t2
x = t2 − 1
d
x = 2t dt
=
Z
1
(
t2 − 1)t
2
t dt =
Z
2
t2 − 1
d
t = ln
t − 1
t + 1
= ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
Z
u
1
1
x
√
x + 1
d
x =
"
ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
#u
1
= ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
− ln
√
2
− 1
√
2 + 1
I = − ln
√
2
− 1
√
2 + 1
+ lim
u→∞
ln
√
u + 1 − 1
√
u + 1 + 1
√
√
!
√
√
!
použijeme definici nevlastního integrálu.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
Z
∞
1
1
x
√
x + 1
d
x.
I = lim
u→∞
Z
u
1
1
x
√
x + 1
d
x
Z
1
x
√
x + 1
d
x = ln
√
x + 1 − 1
√
x + 1 + 1
Z
1
x
√
x + 1
d
x
x + 1 = t2
x = t2 − 1