3.Nevlastní integrál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
Z
∞
1
1
x(x2 + 1)
d
x.
I = lim
u→∞
Z
u
1
1
x(x2 + 1)
d
x
Z
1
x(x2 + 1)
d
x =
Z
1
x
−
x
x2 + 1
d
x = ln x −
1
2
ln(
x2 + 1)
Z
u
1
1
x(x2 + 1)
d
x = ln u −
1
2
ln(
u2 + 1) +
1
2
ln(2)
I = lim
u→∞
h
ln
u −
1
2
ln(
u2 + 1) +
1
2
ln(2)
i
=
= 1
2
ln 2 +
1
2
ln
lim
u→∞
u
2
u2 + 1
= 1
2
ln 2 +
1
2
ln 1 =
1
2
ln 2
.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
Z
∞
1
1
x(x2 + 1)
d
x.
I = lim
u→∞
Z
u
1
1
x(x2 + 1)
d
x
Z
1
x(x2 + 1)
d
x =
Z
1
x
−
x
x2 + 1
d
x = ln x −
1
2
ln(
x2 + 1)
Z
u
1
1
x(x2 + 1)
d
x = ln u −
1
2
ln(
u2 + 1) +
1
2
ln(2)
I = lim
u→∞
h
ln
u −
1
2
ln(
u2 + 1) +
1
2
ln(2)
i
=
= 1
2
ln 2 +
1
2
ln
lim
u→∞
u
2
u2 + 1
= 1
2
ln 2 +
1
2
ln 1 =
1
2
ln 2
.
Použijeme definici nevlastního integrálu a rozepíšeme jej jako limitu Riemannova
integrálu.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
Z
∞
1
1
x(x2 + 1)
d
x.
I = lim
u→∞
Z
u
1
1
x(x2 + 1)
d
x
Z
1
x(x2 + 1)
d
x =
Z
1
x
−
x
x2 + 1
d
x = ln x −
1
2
ln(
x2 + 1)
Z
u
1
1
x(x2 + 1)
d
x = ln u −
1
2
ln(
u2 + 1) +
1
2
ln(2)
I = lim
u→∞
h
ln
u −
1
2
ln(
u2 + 1) +
1
2
ln(2)
i
=
= 1
2
ln 2 +
1
2
ln
lim
u→∞
u
2
u2 + 1
= 1
2
ln 2 +
1
2
ln 1 =
1
2
ln 2
.
Pro výpočet neurčitého integrálu rozložíme na parciální zlomky.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
Z
∞
1
1
x(x2 + 1)
d
x.
I = lim
u→∞
Z
u
1
1
x(x2 + 1)
d
x
Z
1
x(x2 + 1)
d
x =
Z
1
x
−
x
x2 + 1
d
x = ln x −
1
2
ln(
x2 + 1)
Z
u
1
1
x(x2 + 1)
d
x = ln u −
1
2
ln(
u2 + 1) +
1
2
ln(2)
I = lim
u→∞
h
ln
u −
1
2
ln(
u2 + 1) +
1
2
ln(2)
i
=
= 1
2
ln 2 +
1
2
ln
lim
u→∞
u
2
u2 + 1
= 1
2
ln 2 +
1
2
ln 1 =
1
2
ln 2
.
Užijeme základní vzorce a pravidla pro integraci.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
Integrujte
Z
∞
1
1
x(x2 + 1)